求解嵌套函数

我们知道正比例函数 为非零常数, 满足性质，因为.

那么对于实数域上的连续函数, 满足这个性质的函数除了正比例函数, 还有别的函数吗？

例 1 ( 抽象函数 )

设函数在整个实数域上连续, 求函数方程式的解.

因为

由数学归纳法知, 对任意的实数 有

特別的当 时,

取 , 可得 .

把代入, 可得

代入, 可得

把代入, 可得

所以对任意的整数

设 为正整数), 有

.

而.

把代入得

所以对任意的有理数, 有

因为有理数是实数的稠密子集, 且为连续函数,所以

是在中唯一的解.

如果, 则.

如果, 则 为非零常数. 即为正比例函数.