医疗现实的启示 年，美国斯坦福大学的数学家 Emmanuel Candès 和 Justin Romberg 做了一件看似疯狂的事 [1]：他们告诉医生，可以利用只有 到 的常规数…
天平称重与信息论——从玩具问题到工程奇迹
数学科普
用可视化讲数学真正在做的事——没有冗长的公式推导，只有问题、直觉与解法。 共 438 篇
很简单但还没有解决的Collatz猜想
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 引入 善意提醒：不要尝试解决这个数学问题. 你会受到诱惑的. 这个问题很简单,…
数学教你开车如何“掉头”
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 汽车掉头和挂谷针问题 想象一下, 你的无人驾驶汽车在街上行驶, 突然前方被两辆…
学了导数，证明了$2=1$？
认知陷阱：一个违背直觉的代数推导 假设我们已知微积分中的基本求导法则，特别是幂函数的求导公式 。基于此，我们来看一个看似严密的逻辑推导： 假设有一个正整数 ，我们可以将乘方 转化为…
灭灯游戏
在高中阶段, 矩阵和矩阵乘法的教学往往不被重视, 在多数高中生眼里, 认为矩阵就是一张简单的数表, 把矩阵的运算看作是数字运算的批处理. 那么本文将从灭灯游戏这一有趣的问题入手, …
山羊与栅栏：绳索尽头的几何博弈
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原文发布于 | Quanta Magazine 想象一下，你正站在一片绿油油的草坪中央。草坪上立着一个方形的木质栅栏，而在…
把组合问题装进口袋：母函数与掷骰子
想象一下你正坐在桌前，手里握着一枚均匀的六面骰子。你一次次地掷出它，并随手记下当前所有点数的总和：第一掷是 ，总和是 ；第二掷是 ，总和变成了 …… 随着投掷次数的增加，这个“点数…
久赌必输
在博弈论和随机过程中，“久赌必输”并非一句简单的劝诫，而是一个有着严密数学证明的定理——赌徒输光定理（Gambler's Ruin Theorem）。本文将通过数学建模，量化分析本…
12 枚硬币问题
假设你有一架天平（无刻度, 仅能比较重量）和 枚外观完全相同的硬币. 其中有一枚是伪币, 它的重量与其余 枚真币不同, 但你并不知道它是比真币更重还是更轻. 目标是：通过最多 次称…
正方形旋转时，重叠面积会变吗？
如图, 大正方形的一个顶点恰好落在小正方形的中心。现在绕着该顶点旋转大正方形, 那么这两个正方形总有部分是重叠的。 寻找规律：从两种特殊情况入手 随着大正方形的旋转, 重叠部分的图…
摩天轮的影子：简谐振动的物理机制与数学本质
摩天轮的影子与简谐振动 当你观察公园里匀速旋转的摩天轮时，如果只盯着其中一个座舱在正下方地面上的投影，你会发现它的影子是在一条直线上来回摆动。这种投影运动满足位移按特定规律变化的特…
哈密顿圈：从“环游世界”到最难的数学谜题
一场19世纪的“环球旅行” 想象你生活在1857年的伦敦。著名数学家、物理学家威廉·罗文·哈密顿（William Rowan Hamilton）刚刚推出了一款新奇的智力游戏，名为“…
为什么掷骰子的概率计算，等价于小学的乘法竖式？
在小学阶段，当我们计算多位数相乘时，最常规的方法是列竖式，将多位数相乘转化为多位数与个位数的逐次相乘。 然而，在探讨更高级的数学结构之前，我们需要观察一种特别的计算序列。假设我们以…
为什么管子里的甲虫必然重返原点, 而赌徒的本金终将归零？
一维路径上的无向运动 想象一只甲虫在一个无限长且平直的细管子里移动. 由于管子极窄, 它只能向前或向后爬行. 假设它每次以相同的概率向前或向后爬行固定的距离. 最终, 这只甲虫能回…
奇偶校验
状态的反推：什么是奇偶校验？ 想象你手里有一支按动式圆珠笔. 笔芯初始状态是缩在里面的. 按 下, 笔芯弹出；再按 下, 笔芯缩回. 现在, 闭上眼睛, 让你的朋友随机按动这支笔任…
球会落在哪里?
一个小球从台球桌一角以方向射出，那么它会一直不停的反弹还是最终掉入某个口袋呢？ 在这里，我们假设这是纯几何的问题: 球没有质量，球和洞被看作是单个点，且球是直线运动的. 并且我们想…
信息传输背后的数学
作者 | ALAN J.AW 译者 | 万物有数 原载于 | Plus Magzine 引言 我们每天都在发送信息, 无论是给亲人的短信、给朋友的电子邮件, 还是那些古老的电报. …
血迹背后的数学：揭露犯罪现场的秘密
引言 在许多暴力犯罪中, 尤其是谋杀案中, 血迹往往是最直观, 最具信息量的重要证据之一. 尽管现在有强大的技术手段(如DNA鉴定)来分析证据, 但血迹的分析(BPA)仍然是犯罪现…
白鼠试毒
猜年龄游戏 下面有5张表, 只要你说出在哪几张表中有你的年龄, 我就可以立刻猜出你的年龄是多少, 你相信吗？ 表 表 表 表 表 比如, 你的年龄在表1与表5中, 那么我立刻知道你…
吹蜡烛
有根燃烧的蜡烛, 第一次吹蜡烛后, 有可能吹灭1根, 也有可能吹灭2根, 且概率相等. 如果吹灭了一根, 剩余一根燃烧的, 那么下一次就可以直接吹灭. 问平均需要吹多少次可以吹灭所…
掷偶数点
掷一个均匀的普通骰子, 直到掷出 6为止, 在所有先前的掷骰（如果有的话）都是偶数的情况下, 问预期的掷骰次数是多少（包括 6 的掷骰）？ 这个问题来自数学家 Elchanan M…
天平要称几次？
有 3 枚硬币，一枚假币比其他两枚重或轻. 天平可以显示：左边重，右边重，或者一样重. 我们至少要用天平来称几次，才能保证判断出哪一枚是假币？ 继续阅读以寻找答案，也可以跳过下面内…
工人分金条
最近有一部很火的电视剧叫《天才基本法》, 里面出现了这样一道数学题. 例 1 ( 工人分金 ) 一位老板有一根金条用于支付他的工人一周共7天的工作, 他每天需要给工人一段金条来结账…
一笔画
假设我们想“一笔画”画出下面的图形，但要遵循以下这些规则： 1.可以从图上的任何顶点开始. 2.一旦开始画，笔不能提起来，否则就算结束. 3.同一线段不能经过两次. 你能做到吗？先…
拿一块
对于大部分游戏来说, 寻找最优解是非常困难的. 以围棋为例, 穷尽所有的计算, 对于全球最快的电脑也几乎是不可能的. 在阿尔法狗出现之前, 电脑只能在小棋盘(如)中变化有限的情况下…
残缺的棋盘
这是一道非常经典又古老的棋盘问题： 有一个 的棋盘，将棋盘的对角处的两个方块去掉. 我们能否用由两个方块组成的长方形（二联骨牌）铺满剩下的棋盘（62个格子）？ 正确答案是: 不能.…
绿色橄榄球
圆周角定理 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半. 下面给出圆心角小于时的证明(当圆心角大于等于时可以转化为此种情况): 已知在中, 圆心角与圆周角同对弧, 求证…
有几个狼人
在一个遥远的海岛上,有一些居民总是说真话,有一些居民总是说假话,他们分别属于说真话者部落和说假话者部落.没有任何其他外在的标记把这两个部落的人区别开来. 某一天,你来到这个岛上,遇…
解密折纸魔术
大家都折过千纸鹤, 用一张正方形的纸折成千纸鹤后再展开, 如下图中最右边的几何图形, 就是折叠纸鹤后展开的平面图.它展示了纸鹤折叠时在纸上产生的所有折痕, 被称为纸鹤的山谷折痕图.…
寻找勾股数
勾股数, 是指满足方程的三个正整数组成的数组, 寻找勾股数是一个非常古老的问题. 我们来试着写出所有的勾股数. 若有一组正的勾股数, 则是单位圆在第一象限的点, 是相应的辐角, 那…
汉诺塔（加强版）
有一个故事讲述了有64个不同大小的圆盘, 这些圆盘堆叠在寺庙的塔柱子上.当所有圆盘以相同顺序重新堆放到另一根柱子上时, 世界将终结. 以下是移动圆盘的规则： 1.一次只能移动一个圆…
盒子太小放不下？再挤挤？
引言 本文从一道简单的美国中学生数学竞赛(AMC)试题入手, 联想到其在现实生产生活中的应用场景, 进而提出一连串疑问, 并逐步揭示一类经典的优化问题及其结论. 一道题引发的联想 …
欧拉公式求解直线分圆问题
吃披萨的时候你有没有想过这样一个问题：如何用最少的切割数切出尽可能多的披萨块？ 将这个问题抽象，就有了下面这个数学问题. 例 ( 直线分圆问题 ) 如图, 条直线可以将一个圆分成块…
正方分割
作者 | 张远南 原载于 | 《概率和方程的故事》 一个人在学生时代的志趣, 对他一生将产生难以估量的影响. 1936年, 英国剑桥大学三一学院的学生塔特, 斯通, 布鲁克斯和史密…
移动迷宫2：求期望
在《移动迷宫：探秘马尔可夫链》一文中，我们通过一道老鼠在迷宫中随机游走的问题介绍了马尔可夫链，从而更好地理解了矩阵和矩阵的乘法. 本文将解决文末留下的第一个问题： 若迷宫不会坍塌，…
探索密铺的奥秘：从平移对称到非周期单元
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 引入 你是否曾赞叹过地板的木条怎能如此紧密地拼接在一起, 或者浴室地面的六边形…
是什么让素数如此特别?
“是什么让素数如此特别？” 这是125个新科学问题的第一问. 2021年, 上海交通大学携手《科学》杂志发布“新125个科学问题”——《125个科学问题：探索与发现》 [1]. 其…
移动迷宫：探秘马尔可夫链
在高中阶段, 矩阵和矩阵乘法的教学往往不被重视. 在绝大多数高中生眼里, 矩阵只是一种静态的存储数字的方式, 矩阵的运算也只是一种数字运算的批处理, 比如我们的高中生对矩阵乘法仅仅…
"数学曲线"如何实现高级通信
作者 | Jordana Cepelewicz 译者 | 万物有数 原载于 | Quanta Magazine 引言 给定空间中的一组点, 你能找到一条经过所有点的曲线吗？这个问题…
绕行在柏拉图立体上
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 如果地球不是球形的 你有没有想过这样一个问题：如果地球不是球形的, 生活会是什…
群体免疫的实现：需要全民接种？
作者 | Patrick Honner 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 引言：谣言的传播 假设你听到一个令人兴奋的传闻, 忍不住想分享. 但你讨厌散布…
帽子问题
作者 | 华罗庚 大家都知道, 数学归纳法有帮助我们“进”的一面, 现在我想谈谈数学归纳法帮助我们“退”的一面. 把一个比较复杂的问题, 退成最简单最原始的问题, 把这个最简单最原…
马尔可夫链理解PageRank算法
在《移动迷宫：探秘马尔可夫链》一文中，我们通过一道老鼠在迷宫中随机游走的问题介绍了马尔可夫链，从而更好地理解了矩阵和矩阵的乘法. 本文将带大家解决文末留下的后两个问题： 老鼠在进行…
跳棋游戏
作者 | 马丁加德纳 译者 | 谈详柏,谈欣 在纸上画一个 的点阵, 然后作一条直线将它一分为二, 两部分都是含 15个圆点的三角形. 在直线上方的各点分别放上1 枚小硬币. 你的…
幻方：当数学遇上艺术
作者 | Miguel Barral 译者 | 慕容玖 原载于 | Bbvaopenmind 引入 从丢勒的雕刻画到高迪的圣家堂, 幻方, 一个极其吸引人的数学谜题, 经常出现在艺…
哈密尔顿：发明棋盘游戏的"破坏者"
作者 | Miguel Barral 译者 | 慕容玖 原载于 | Bbvaopenmind 引入 哈密尔顿 (William Rowan Hamilton, 1805-1865)…
数学视角的转变:从内角和转到外角和
作者 | 陈永明 众所周知, 三角形的内角和等于 . 但在一次学术报告上, 数学界领袖级人物陈省身教授却说不对. 正当大家疑惑的交头接耳议论时, 陈教授又说了：“说三角形的内角和等…
许俊珥, 组合数学和国际象棋骑士问题的奇怪魅力
作者 | Andrei Mihai(ZME Science的联合创始人) 译者 | zzllrr小乐(知名公众号博主) 数学之诗 高中时, 许俊珥想成为一名诗人. 他甚至从高中退学…
栅栏内的山羊吃草
作者 | Steve Nadis 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 引入 这是一个听上去很简单的问题：想象一个圆形围栏围住了一块圆形草地. 如果一只山羊…
黎曼猜想新进展,“震撼”证明来袭
作者 | Jordana Cepelewicz 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 引入 有时候, 数学家们会直面一个问题, 有时则会采取侧面进攻的方法,…
若干点的不同距离数有了新界限
作者 | Leila Sloman 译者 | 慕容玖 原载于 | Quanta Magazine 在平面上随机散布三个点, 然后测量每一对点之间的距离. 多数情况你会得到三个不同的…
等差数列, 你在吗？
作者 | 沈俊严 原载于 | UniMath 编者荐语 请问:“在数字1-10中, 至少要选取几个数字, 才能保证任意选取的数字中一定存在3个数字构成等差数列?” 这个问题听起来有…
如何3天内完成500万+件样本的检测？
根据21年9月国务院下发的《全员新型冠状病毒核酸检测组织实施指南》的要求[1], 500万人口以上的城市, 应当在3天内完成全员核酸检测任务. 最近一个月, 全国各地疫情都出现了反…
狗追鸭子
作者 | 陈永明 原文发表于《少年趣味几何学》 有一只鸭子从实验室里逃了出来. 因为在实验室里呆久了, 受到科学家的熏陶, 变得聪明起来了. 这只鸭子在圆形的湖边碰上了狗, 鸭子连…
三顶帽子的颜色问题
作者 | 朱利安·哈维尔 译者 | 涂泓 原文发表于《不可思议？有悖直觉的问题及其令人惊叹的解答》 A, B, C三人参加一场测试:每人随机得到红色或黄色的帽子, 能看到对方的帽子…
从钢琴调音谈数学与音乐
作者 | 游森棚（高雄大学应用数学系） 原文发表于 数学传播,第 33 卷第 1 期 闰馀成岁, 律吕调阳. —— ⟨千字文⟩. 音乐和数学, 两者都博大精深, 却又非常抽象. 可…
芝诺悖论
大家可能都听过芝诺悖论，讲的是阿基里斯追龟问题： 奥林匹克长跑冠军阿基里斯与乌龟赛跑.乌龟先爬行一段距离，比如说1米.在阿基里斯追上乌龟之前，他必须先达到乌龟的出发点.而在这段时间…
说慌者悖论
这是一个古老的悖论. 一个人说：“我现在说的这句话是谎话.” 这句话究竟是不是慌话呢? 如果说它是慌话，就应当否定它. 也就是说，这句话不是谎话，是真话. 如果说它是真的，也就肯定…
斐波那契平方数列
斐波那契(Fibonacci)数列因其简单的定义和广泛的应用而闻名, 数列每一项都是前两项之和：, , , , , , , , ... 然而, 当我们考虑斐波那契数的平方数列时, …
对称变换
我们知道等腰三角形底边上的高是其对称轴, 将等腰三角形沿着它的对称轴折叠, 则对称轴两旁的部分完全重合. 我们称这种变换为反射变换. 如果将一个正方形绕它的中心O逆时针旋转180°…
冗长的方程
你能直接说出方程在复数域内有几个根吗？ 根据代数基本定理, 次方程在复数域内有个根. 因此, 有个根. 下面我们就来具体介绍一下代数基本定理及相关知识. 多项式方程 次方程即为次多…
100盏电灯
完全平方数, 是指可以写成某个整数的平方的数, 即其平方根为整数的数. 例如, , 是一个完全平方数. 前几个完全平方数也很容易写出: . 由于每个完全平方数都可以由一个它的约数平…
三角形重组
是否存在周长和面积都对应相等的两个三角形，并且要求三角形的边长均为整数？ 我们不妨来计算一下. 设一对三角形的边长分别为和, 为半周长. 因为这两个三角形有相同的周长, 所以. 因…
多少个零
在数学中，正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，记作 例如 的阶乘： ，其值为 ： 如果我们要将一个阶乘进行质因数分解，就要去逐个分析其中的每一项. …
变瘦的三角形
科赫雪花 从一个等边三角形开始, 我们可以通过递归, 重复以下过程来创建一个复杂的图形： 将三角形的每一边分成三份. 以中间的三分之一为底, 在三角形的另一边画一个等边三角形. 然…
原命题与逆否命题等价？
从钱大姐说起 大家在学习中学数学时一定接触过这样一条结论：原命题与逆否命题等价（同真同假）. 我们常常可以将原命题转化为其逆否命题来进行分析. 以上海2013理数数学16题为例： …
数一数，有多少个5？
在数学中，正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，记作 例如 的阶乘： ，其值为 ： 如果我们要将一个阶乘进行质因数分解，就要去逐个分析其中的每一项. …
$x^2$那年我$x$岁
德·摩根 (De Morgan) 是 19 世纪英国数学家，容斥原理就是由他最先提出的，并且德摩根律以他命名. 德摩根律 对任意全集以及、， 等式 , 恒成立. 德·摩根的传奇人生…
复利的秘密
复利的秘密 如果你有1元钱, 某银行的年利率为, 那么存1年后本利和为 元. 如果我们和银行达成协议, 每半年就结算一次利息, 那么此时每半年的利率为, 存1年后本利和为 元. 如…
口算定积分
定积分的几何意义是求面积, 如果能结合函数的性质, 那么有些定积分的运算会变得很简单. 下面介绍一种快速计算的方法. 根据定积分的几何意义, 该积分的几何意义就是图中阴影部分的面积…
猴子分桃
五猴分桃 5只猴子有一堆桃子，是它们的公共财产，它们要平均分配，但怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分. 夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成5等份，…
你真的了解方程的图形吗
方程一词出现在中国早期的数学专著《九章算术》中,其"卷第八"即名"方程". 现代数学中方程可以简单的理解为含有未知数的等式.例如:，其中为未知数. 方程的图形是使方程成立的所有数据…
无限分割恒等式
几何级数表示等比数列的前项和，又称为等比级数. 为了直观的感受几何级数, 请想象这样一个分享游戏: 假设你有一杯果汁，要在你和四个朋友之间分享. 将果汁平均分配后，每人有五分之一的…
算24点“骨灰级”难题
扑克牌算24点这游戏，我们从小就开始玩了. 任意抽取4张牌(称为牌组)，用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24. 每张牌必须且只能用一次. 很多人都自认是此中高手，也各自…
赶车人
正弦定理 如图, 有一个锐角三角形, 边为, 对应角分别为, 为边上的高. 观察左边的直角三角形有, 同理, 右边的三角形有, 联立得, 即. 同理有, . 将上面的等式串联起来,…
海伦公式
海伦公式 如图所示有一个边长为, 和的三角形.令是和边之间的夹角, 用表示三角形的面积. 三角形的面积公式是 余弦定理又指出 如果我们在第一个公式中用面积表示, 在第二个公式中用边…
三角比公式无字证明
这是三角函数的和角公式，很多人都不知道它可以用勾股定理的类似的几何证明来推导，我们先画出四个斜边为1的三角形. 将它们排列成如图所示的矩形. 白色部分的面积是两个小矩形的面积之和：…
求交点个数
三角函数图像的几何性质在学习和生活中都有广泛的应用.直观的几何思想可以帮助我们更好的理解抽象的三角函数. 我们有下表的正弦值： 描点绘制函数图像，具有以下形状： 实际上，这里的图像…
希尔伯特酒店
无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而, 没有任何概念比无穷大更需要澄清...... ——大卫·希尔伯特（18…
黄金三角形的妙用
被称为黄金分割比, 精确值为, 数学中许多有趣的现象都与黄金分割比有关, 比如黄金三角形. 黄金三角形是一种特殊的等腰三角形, 因为它腰与底边(或底边与腰)的比值等于黄金比故得名.…
函数图像的变换
下图是函数的图像，假设该图在所示区域的左边和右边继续线性增长. 我们看到,,而.对于每一个输入,都有一个输出值,即使我们不知道该的具体公式,也可以从图中读出. 现在让我们考虑通过修…
韦达定理
在数学上,韦达定理是一个给出多项式方程的根与系数关系的公式. 对于一元二次方程,若是方程的两个根，则有 该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现,并因此得名. 韦达定理的实用之处在于,…
有趣的糖果混合
有两罐糖果, 其中一罐装有1000颗红色糖果, 另一罐则装有500颗绿色糖果. 假设我们从大罐子中取出200颗红色糖果, 将它们彻底混合到小罐子中, 然后从小罐子中随机取出200颗…
做手链
小花用5颗黑色和金色的珠子做了一串手链, 她想数一数自己能做多少串不同样式的手链.如果我们旋转或翻转一条手链, 能与另一条手链相同, 则将这两条手链视为一样的 . 想看看她制作的不…
假阳性问题
如果你检测出某种疾病呈阳性, 那么你真的患上这种疾病的可能性有多大?仪器制造商可能会宣传他们的检测能识别出某人是否患有某种疾病的概率, 但这并不一定等同于某人真正患有这种疾病的概率…
盈不足问题
为了介绍我国古代数学在盈不足术方面的成就，我们先讲一个有趣的故事. 据《唐阙 (quē) 史》记载：公元 年左右，唐代有位大官叫杨损，在选用和提拔行政官吏方面以公正闻名. 一次，有…
一桩盗窃案
早在公元四世纪前，我国数学著作 《孙子算经》中就提出过著名的“孙子问题”： "今有物不知其数, 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？" 也就是说 “有一数, 用3除…
5家共井问题和百鸡问题
说到方程，最简单的是一元一次方程，就是一个未知数，一个方程构成的，还有二元一次方程组，三元一次方程组，他们的未知数个数与方程个数是相等的，但还有一类方程，未知数个数多于方程的个数，…
立体幻方
在组合数学中有一种图形，西方多称为magic square，而国人常称为幻方，就是将自然数 排入行列的方阵中，使得每行每列与两条对角线上的和均为. 中国是幻方的诞生地，洛书可谓是最…
千纸鹤
“折一千对纸鹤，结一千颗心情”，想必大家都听过这首“千纸鹤”的歌，可能也折过千纸鹤吧.千纸鹤，是一种折纸. 什么是折纸 折纸是把纸张折出各种特定的形状和花样的一种艺术.折纸只需要通…
穿孔珠的体积
制作串珠时需要先给珠子打孔, 那么穿孔珠的体积如何计算呢? 假设珠子是球体，孔为圆柱形孔, 且圆柱的轴为球体直径. 以球体中心为原点, 孔的轴线所在直线为 轴建立直角坐标系. 设球…
非常嫌疑车
嫌疑车辆 一名目击者看到一辆出租车肇事逃逸. 他告诉警方那辆出租车是蓝色的. 若当地有家出租车公司, 每家公司的出租车颜色都不相同. 在类似的案件中, 证人有的概率能正确识别出租车…
特殊的和
裂项相消求和法是针对特定数列的求和法，其核心思想是将数列中相邻的项相消，从而简化求和过程. 下面我们从一个例子来说明具体的过程. 计算 分析 观察第一项，它可以写成的形式. 分母有…
闪烁的彩灯
小橘和小明约定下午点在书店见面. 如果小橘先到, 她会等分钟. 如果小明先到, 他会等分钟. 点之后二人都会离开. 小橘和小明相遇的概率是多少？ 这个概率问题不是我们熟悉的古典概型…
根号的嵌套
计算 的值. 初看难以下手, 根号无法化简, 又是无穷多项, 这该怎么处理呢？不妨从简单开始. 我们可以将3和5视为一组, 则 观察可知3和5的指数均为等比数列, 根据无穷等比数列…
现在几点钟
时钟问题一般研究时针与分针的关系, 比如两针重合, 两针垂直等. 解决这类问题我们需要掌握二者之间的数量关系. 由于整个表面为, 因此时针每分钟转动, 分针每分钟转动. 若从12点…
333个3
乘积的数位和是多少？ 直接计算前不妨先考虑简单的情况. ,数位和是； ,数位和是； ,数位和是； ,数位和是； 根据这个规律，可以猜测 数位和是； 但是归纳猜想的结论需要证明，下面…
存款准备金率与货币供应量
降准？! 2021年12月6日下午5点, 央行宣布：于2021年12月15日下调金融机构存款准备金率0. 5个百分点（不含已执行5%存款准备金率的金融机构）. 本次下调后, 金融机…
遗传的秘密
有一种甲虫很有特点, 它们背上的图案有斑点也有条纹, 它们可能是短腿也可能是长腿, 甚至有三只眼睛或五只眼睛. 饲养员非常希望他养的甲虫下一代是长得好看的. 但是我们如何才能知道下…
求解嵌套函数
我们知道正比例函数 为非零常数, 满足性质，因为. 那么对于实数域上的连续函数, 满足这个性质的函数除了正比例函数, 还有别的函数吗？ 例 1 ( 抽象函数 ) 设函数在整个实数域…
棘手的定积分
你能在5秒内口算出这个定积分的值吗？ 我告诉你答案是 其实我偷偷的用了这样一个公式. 公式的证明 下面就给出这个公式的证明过程. 记 换元, 令, 则. 则 （其中最后一个等号是将…
设计骰子点数
大家知道, 掷一个普通骰子出现的点数有 6 种等可能结果; 而掷两个骰子时,共有 种等可能结果. 但如果考虑两个骰子的点数之和比如7的出现, 因为可能有 “若干"种搭配的方式, 因…
抽象函数知多少
抽象函数是一类具有特定性质的函数, 满足条件的函数可以有多个. 根据性质求函数解析式是函数问题中的难题, 下面我们用一个具体的例子来说明抽象函数的问题如何求解. 例 1 ( 抽象函…
一堆球的数量
数学王子高斯用巧妙的办法快速计算出到的和, 这个故事大家都知道. 那么这个巧妙的计算方法背后隐含的数学原理是什么呢？ 首尾相加这个方法碰到奇数项相加的时候会有点小麻烦, 这个方法有…
混样检测平均情况再探讨
在文章《武汉10天核酸检测1000万人？》中我们提到， 武汉之所以能在10天内完成千万人级的检测是由于采用了混样检测的方式，即将10个人的样本混合为1个样本池进行检测，若结果为阴性…
多面体拼接
一条直线和由这条直线生成的两个半平面组成的图形叫做二面角, 记作：“二面角”. 直线叫做二面角的棱, 两个半平面叫做二面角的面. 二面角的大小通常用二面角的平面角来刻画. 在二面角…
反直觉概率问题
袋子里一共有三张牌, 牌1两面都是蓝色, 牌2两面都是红色, 牌3正面是蓝色, 反面是红色. 现在随机抽取一张牌放到桌上, 若朝上的一面是蓝色, 则另一面也是蓝色的概率是多少? 凭…
魔力三角形
如图, 是一个边长等于的正方形, 是上一点, 是上一点. 若, . 求的大小. 这是一道平面几何求角的度数问题, 问题的突破口当然应该从角度入手： 因为中 于是 因此 故中 此时可…
粗心的洗碗工
一家餐馆有五名洗碗工. 这个月他们打碎了五个盘子, 其中四个都是小明打碎的. 于是餐馆的老板便想辞退他, 但小明辩解这只是运气不好, 它可能发生在任何一个人身上. 老板的分析 老板…
组合问题中的球罐模型
排列组合问题以其特有的魅力吸引着人们对它的研究, 很多问题都来源于生活而且老少皆宜, 不需要什么前备知识, 小学生也能乐在其中, 困在其中. 组合问题研究的是从一组对象中选择一定数…
神秘的送礼
条件概率 条件概率是指事件A在事件B发生的条件下发生的概率. 条件概率表示为：，读作“A在B发生的条件下发生的概率”. 比如掷骰子试验中，共有6种等概率的试验结果，如果我们已经知道…
悬链线问题
这是达芬奇的世界名画《抱银貂的女人》, 你是否注意到女人脖颈上悬挂的黑色珍珠项链？你会想到什么？你注意到的可能是项链与女人相互映衬的美, 而达芬奇却在苦苦思索这样一个问题：固定项链…
数轴上的小球
在我们生活的自然界和人类活动中, 很多现象的发展和演变通常伴随着数学规律的存在. 而微分方程则是描述这些规律的一种强大工具, 它们承载着揭示自然之谜的力量. 本文将通过一个扫雪机扫…
农场围栏
例 1 ( 表面积最小 ) 一个圆柱体罐子体积为一定值, 底面半径和高度比为多少才能使其表面积最小？ 下面用两种方法来求解这个问题, 常规方法是列出表面积公式, 利用基本不等式求最…
经典的走楼梯问题
兔子问题 假设某种兔子在出生的第1个月不能生育,但2个月之后每月生一对(一雌一雄)兔子. 开始时, 假设有一对新生的兔子, 且不考虑兔子的死亡. 问: 在第7个月月初共有多少对兔子…
皮克斯动画里的数学：曲线细分术
当观看皮克斯动画工作室(Pixar)出品的动画电影时, 你是否被里面制作精细的3D人物造型所惊艳到?那些丰富的细节到底是如何制作出来的呢？本文将为你揭示其背后的数学奥秘：计算机图形…
抗原检测出阳性？莫慌！
本周末, 上海多区发布了告居民书, 将在26-28日针对部分街道或全区人员进行一次抗原筛查检测. [1] 而在10天前的3月15日, 在国务院联防联控机制召开的新闻发布会上, 国家…
马尔可夫链的应用
本文将分享一些搜集来的马尔可夫链应用场景供读者参考，希望能带来一些启发. 马尔可夫链回顾 目前，我们总计接触了两个马尔可夫链的问题背景，一个是老鼠版Maze Runner问题，一个…
一直线分五圆
例 1 ( 平分圆 ) 如何用一条直线把一个圆(或一组圆)精确地分成两半呢？成功的标准是：以这条线为界，两边的圆的面积和周长分别相等. 一个圆 对于单个圆，我们可以通过画任何一条经…
俄罗斯方块
铺瓷砖问题 浴室里的一面墙上原铺着40块的四方瓷砖（如图）. 这些瓷砖已经破损了, 需要重新更换. 可惜, 建材商店目前没有这种四方的瓷砖, 只有的长方形瓷砖. 例 1 ( 铺瓷砖…
抢占2022
尼姆游戏有很多的变种游戏. 本文将要介绍的是其中一个变种游戏："数21"游戏. 如果你清楚游戏规则并深谙策略的话可以跳过阅读直接开始做题. "数"游戏规则是这样的： 第一个玩家从开…
困扰数学家几百年的山羊问题
在数学考试中你可能遇到过一只"吃草的山羊", 通常它被绳子栓在栅栏上, 可以在它能到达的任何区域内吃草. 你的任务就是计算它吃草区域的总面积或者根据吃草面积计算所需绳子长度. 如果…
九位数之谜
用到共9个数字组成一个无重复数字的九位数, 使得这个数满足“前n位能被n整除”的条件，也就是第一位能被整除, 前两位组成的两位数能被整除, 前三位组成的三位数能被整除, 以此类推,…
有趣的正多面体
我们知道正多面体只有5种：正四面体, 正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 本文我们利用欧拉(Euler)多面体公式来证明这个结论并进一步探究多面体一个有趣的性质：对偶性. …
巧算凹四边形面积
在平面内, 一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化过程叫做旋转. 这个定点叫做旋转中心, 旋转的角度叫做旋转角. 旋转中心、旋转方向、旋转角度为旋转的三要素. 举个…
排成一排的多边形
例 1 ( 求周长 ) 个边长为 的等边三角形按照下图所示，被排成了一排，如下图. 这个图形的周长是多少？如果这个图形是由 个三角形组成的，周长又会是多少？ 个三角形 我们先从由 …
2020年10天核酸检测1000万人？
2020年5月11日武汉市下发《关于开展全市新冠病毒核酸筛查的紧急通知》, 要求从5月14日起在武汉全市范围内开展全员新冠病毒核酸筛查“十天大会战”, 即要在10天之内, 对全武汉…
正方体截面
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好的认识几何体，对于一个几何体的不同的切截方式，所得截面可能出现不同的情况.那么用一个平面去截一个正方体得到的截口曲线是什么形状呢？ …
爱心外接圆
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广. 对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的乘…
母牛生小母牛
兔子繁殖问题 例 1 ( 兔子数量 ) 假设某种兔子在出生的第1个月不能生育,但2个月之后每月生一对(一雌一雄)兔子. 开始时, 假设有一对新生的兔子, 且不考虑兔子的死亡. 问:…
多少天没通电话？
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏.为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，…
被分类的卡片
你打开一本英文书, 随机挑选一些单词. 你需要阅读多少个单词才能确保其中至少有两个单词是以相同的字母开头的？ 如果你只读 2 个单词, 它们很容易以不同的字母开头, 比如 A 和 …
直线分圆
例 1 ( 直线分圆 ) 如图, 条直线可以将一个圆分成块,块,块或者块区域,最多是分成块. 那么条直线最多可以将一个圆分成几个区域呢？() 记为条直线分圆得到的最多的区域数. 我…
哪个点更多
一条1厘米长的线段上的点, 和一条直线上的所有点比较, 哪个多？ 一条1米长的线段上的点, 和一个的正方形内的点比较, 哪个多？ 一个单位正方形内的点和一个单位立方体内的点比较, …
五点共圆
在2000年12月20日，江泽民主席出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的平面几何题： 有五角星，其中5个交点，若, , , 和 …
错在哪一步
两角和正切公式 . 应用两角和的正弦公式 两角和的余弦公式 可以推得两角和的正切公式. 当 时, 等式右边的分子分母都除以 ， 得两角和的正切公式 同理可得（或把上述公式中的 换成…
瞄出答案
我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢？ 答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比. 具体的来说, 如果有两个相似三角形, …
测珠峰高程
8848.86米！2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程. 珠峰高程即珠峰海拔高，是峰顶到“大地水准面”的距离.地球表面地形起伏…
3阶幻方有多少个
3阶幻方是指将数字1-9填入一个九宫格, 使得每行每列对角线上的数字之和都相等. 我们很容易就能写出两个符合条件的3阶幻方, 比如： 仔细观察这两个幻方, 会发现两者具有上下对称关…
重叠的矩形
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
12点谜题
如何用四条直线一笔画将图中的9个圆点连起来？ 起初，解题者往往会把这些点想成落在一个正方形或长方形的边界上，就像下图这样： 但按这样的思路解题将徒劳无获. 无论你怎么用一笔画四条直…
拿火柴游戏
如图，这是一个由24根火柴棍组成的图形，数一数，有几个正方形？ 按照边数进行分类枚举，边长为的小正方形共有9个，边长为的正方形共有4个，边长为的正方形共有1个，因此总共有14个正方…
相邻的纸牌
尽管概率的基本概念很简单, 但细节可能非常微妙. 简单的概率问题甚至也可能违背我们的直觉. 让我们考虑下面这样一个问题：假设你有四张牌, 一开始他们以特定顺序排列, 然后彻底均匀洗…
移走几根火柴棍？
这是一个由9根火柴棍组成的图形，数一数有多少个三角形？ 注意：倒置的三角形, 整个大三角形都要算上. 如下图所示，总共有5个三角形. 那么下图呢？ 哇，这么多三角形，怎么数呢？依旧…
移动火柴棍
这是一个由12根火柴棍组成的图形，共有5个正方形. 现在我们拿走3根火柴棍，然后在剩下的火柴中移动2根，是否能恰好形成3个正方形呢？ 继续阅读以寻找答案，或者跳过直接思考今日的挑战…
火柴棍游戏
你能看出来下图中有几个正方形吗？虽然不明显, 但这个图形包含了五个正方形, 而不是四个. 在做火柴棍谜题时, 除了考虑重叠的形状之外, 我们还必须考虑形状的大小. 例如, 下面的火…
27个单位正方体
在一个骰子的六个面中随机选择两个不同的面一共有多少组合呢？ 答案是种. 那么这两个面互为对立面的概率是多少呢？ 互为对立面共有3种情况, 因此概率为. 因此剩下的12种情况, 这两…
酒杯里的三角形
问题：已知直角三角形中为直角，，. 三角形中为直角，.点和在的对边.通过平行于的直线与的延长线相交于点. 若，其中m和n是一对互质正整数，求. 本题的突破口在哪呢？比值,且m和n是…
挑选卡牌
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
双向奔赴
如图, A点和B点分别是网格的对角顶点, 小橘站在点A, 每秒钟向上或向右移动一格直到B点, 小明站在点B, 每秒钟向下或向左移动一格直到点A. 若两人同时出发, 则小橘和小明有多…
买袜子
小明有一抽屉的袜子. 其中，有5双白袜子和5双黑袜子. 小明有一点懒，每次将这些袜子洗完后，不愿意费心思把它们整理好，而是直接把它们扔到了抽屉里. 如果小明到抽屉中，随手抓起一双袜…
积分制足球赛
问题：七支球队进行足球比赛, 其中, 每支球队与其他球队各比一场, 无平局. 每支球队有50%的机会赢得每场比赛, 且比赛结果是独立的. 每场比赛中胜者得1分, 负者不得分. 则A…
数字谜题
在研究排列组合计数问题时, 遇到有特殊限制条件的, 我们要优先考虑. 我们先通过一道例题来说明： 从 100 到 999中随机选择一个数字, 请问每个数位各不相同的概率是多少？ 根…
取卡牌求概率
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
取袜子
小明有一抽屉大小相同的袜子. 其中，有5双白袜子和5双黑袜子. 小明有一点懒，每次将这些袜子洗完后，不愿意费心思把它们整理好，而是直接把它们扔到了抽屉里. 如果小明到抽屉中，随手抓…
囚徒挑战
问题提出 一所监狱的狱长为100名死刑犯提供了最后的挑战机会, 他们的编号从1到100. 一个房间里有100个抽屉，编号也为1到100. 狱长在每个抽屉里随机放一个囚犯的编号, 每…
获胜组合
某天你在散步, 一位路人问你是否愿意一起玩游戏. 正觉得无聊的你同意了他的提议. 游戏规则是, 由你来掷一对标准的六面骰子. 如果你掷出的骰子点数和是7, 你就赢了. 如果你掷出任…
捕鱼的故事
小白羊、小黑羊、小灰羊一起上街各买了一件外套.3件外套的颜色分别是白色、黑色、灰色. 回家的路上, 一只小羊说：“我很久以前就想买白外套, 今天终于买到了！”说到这里, 她好像是发…
猜数字
三个女儿的年龄是非常经典的一个逻辑谜题, 流传甚广, 而且有多种版本, 我们来看其中一个版本. 人口调查员来到某户调查该家庭子女的年龄.有了以下的对话： “我家只有三个女儿,把她们…
神奇的九宫格
尝试图形推理时，一种方法是找到图形变化的“规则”.如果在每种情况下都可以应用该规则，那这就是对图形进行推理的有效方法. 继续阅读以查看示例，或者跳过直接进入挑战. 请从所给的四个选…
山羊吃草
一头山羊被一根长为6的绳子拴在一个大型矩形谷仓的角上.山羊能吃到多少草？也就是说，山羊可以吃到草的总面积是多少？ 需要看答案的请继续阅读，或者跳过直接进入今日挑战题. 如果只将山羊…
约瑟夫环
约瑟夫问题是一个经典的算法问题. 人们围成一圈, 从圆圈中的指定位置开始计数, 并沿指定方向绕圆圈进行. 在跳过指定数量的人之后, 处刑下一个人. 对剩下的人重复该过程, 从下一个…
相遇算题
中国古代最大公约数的概念来源于对分母进行约分. 《九章算术》方田章第 题为：“今有九十一分之四十九. 问约之得几何?” 附于题后的约分术为： “可半者半之，不可半者，副置分母子…
游客位置
在英国1821年出版的一本古老的趣味算题集里, 记载着据说是著名数学家牛顿提出过的一道算题, 原文是一首诗, 翻译过来为： “九棵果树, 排成十行, 每行三棵, 问如何栽？” 这个…
抛硬币赢奖金
这是牛津大学的一道面试题：抛硬币游戏. 有一枚硬币, 抛出正面和反面的概率分别是 如果你扔出正面, 就能得到1元钱奖金, 并且游戏继续, 如果你扔出反面, 则没有奖金并且游戏结束.…
挑战直尺作垂线
三角形有4个心：垂心，重心，外心，内心. 其中垂心是三角形三条高线的交点. 那么问题来了，任意一个三角形，三条高线一定交于一点吗？具体来讲，三角形，边上的高与边上的高交于点，则连接…
砝码问题
能否找到一组砝码, 满足下面两个条件： （1） 能称量从1克到3280克的所有整数克的物品, 但砝码的总质量不能超过3280克. （2） 砝码的数量尽量要少, 要求不超过8个砝码.…
关于$e$的运算
泰勒级数是将某个函数写成多项式函数, 用这个多项式函数去逼近复杂的原函数. 如的泰勒级数为 这样可以用泰勒级数的前几项来估计函数在附近的近似值. 而且项数越多, 近似值误差越小. …
食堂的WIFI密码
对定义域内的任意值,函数都满足, 那么函数就叫做奇函数. 常见的奇函数有 等. 作出正弦函数的图像, 我们发现正弦曲线关于原点中心对称. 事实上所有奇函数的图象都关于原点中心对称.…
$23$的阶乘
不用计算器计算, 你能求出等式中未知的两个数字吗？ 根据阶乘的定义, , 不用计算器, 这乘积的计算量还是相当大的. 那怎么求呢？由于题目中的等式只有两个未知数, 所以只需要找到两…
求半圆外接四边形的边长
两角和正切公式 . 应用两角和的正弦公式 两角和的余弦公式 可以推得两角和的正切公式. 当 时, 等式右边的分子分母都除以 ， 得两角和的正切公式 同理可得（或把上述公式中的 换成…
方中有方
我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢？ 答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比. 具体的来说, 如果有两个相似三角形, …
靠在墙角的三角板
如图所示, 一个直角三角形, 在墙角沿着竖直墙壁和水平地面滑动. 若斜边长度为, 则在滑动过程中, 直角顶点到墙角距离的最大值为多少? 记直角三角形为. 如图建立直角坐标系, 则斜…
半圆里的等腰三角形
圆周角定理 圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半. 下面给出圆心角小于时的证明(当圆心角大于等于时可以转化为此种情况): 已知在中, 圆心角与圆周角同对弧, 求证…
2的指数塔
指数塔 函数是一个由个2组成的指数塔, 即 它的函数值增长速度非常快. 然而, 数学上还存在着增长速度更快的函数. 阿克曼函数 定义 是将输入值变为原来的2倍. 下面继续定义 是个…
掷出6点
要多少次试验? 假设一个事件发生的概率为, 那么在重复、独立的试验中, 平均要多少次试验, 这个事件才会发生？ 动手算 不妨设试验次数的期望为, 则满足 令 两边同乘以，得 两式做…
堆纸箱
排列 从个不同元素中取出个不同元素, 排成一列, 称为从个元素中取出个元素的无重复排列, 简称排列. 从个不同元素中取出个不同元素的所有不同排列的个数称为排列数, 记为. 举个例子…
$\tan 1^{\circ}$是有理数吗？
两角和正切公式 . 应用两角和的正弦公式 两角和的余弦公式 可以推得两角和的正切公式. 当 时, 等式右边的分子分母都除以 ， 得两角和的正切公式 同理可得（或把上述公式中的 换成…
分配智慧币
等差数列, 是一种常见而重要的特殊数列. 在等差数列中, 任何相邻两项的差都相等, 该差值称为公差. 举个例子，例如等差数列： 在这个数列中, 从第二项起, 每一项与其前一项的差都…
整除问题
你知道数字有几个正约数吗？ 一个个去找显然太麻烦. 那有什么更便捷的方法吗？有，将2646进行素因数分解. , 分解成功并且写法唯一，而这是由算术基本定理保证的. 算术基本定理：任…
排方阵
有这样一个问题：有100块瓦, 100匹马, 一只大马驮3块瓦, 一只中马驮俩块瓦, 两只小马共驮1块瓦. 问：大、中、小马各有多少匹？ 不妨设大, 中, 小马各有匹. 则 联立消…
运动会
A，B，C三名运动员参加小型运动会. 每项比赛的前三名都有积分. 不同比赛项目的积分设置是相同的, 即第一名总是得到 分, 第二名分, 第三名分. 其中, 且所有积分值都是整数. …
假金币
在计算机, 信息理论和编码理论中, 纠错码是信息传输中错误检测与纠正的工具. 假如现在有一串存储在磁盘上的数字. 你需要验证数据是否正确, 如果不正确的话, 为了节省数据占用空间,…
用一把直尺作垂线
三角形有4个心：垂心，重心，外心，内心. 其中垂心是三角形三条高线的交点. 那么问题来了，任意一个三角形，三条高线一定交于一点吗？具体来讲，三角形，边上的高与边上的高交于点，则连接…
六边形上的三角形
如图所示,已知圆的半径为，，的中点为，的中点为，的中点为. 从视觉上看是等边三角形,但是证明它却并不容易.不过为了让人们相信这个结论是正确的.我可以让 , 此时图形就变成了正六边形…
素数判断
因式定理是关于一个多项式的因式和零点的定理，如果多项式,那么多项式必定含有因式.反过来,如果含有因式,那么. 一个一元二次方程如果有两个根,.那么该方程用因式定理就可以表示为:, …
相似的直角三角形
一个直角三角形的三条边长分别为. 如果同时将三边扩大为原来的倍,那么你可以得到一个三边分别为的直角三角形. 再将这两个三角形的斜边相乘可以得到 对应的直角边也相乘可以得到 , 神奇…
哪一桶装的是啤酒
能被3整除的整数特点是, 其各个数位上的数字之和也能被3整除；因此判断一个整数除以3后余数是多少就可以转化为其各个数位上的数字之和被3除的余数. 那么这么简单的一条规则背后的原因是…
爱情谜题
密文是一类用大写字母代表数字的谜题. 相同的字母表示同一个数字, 不同的字母表示不同的数字. 下面我们来看一个例子： 用什么数字代替B可以使总和为真？看最后一列, 以1结尾, 因此…
方圆几何
由于空气阻力和摩擦力, 某一类钟的钟摆每摆动一次的弧长都是其上一次摆动的弧长的 . 假设这个钟摆能无限次摆动, 并且假设第一次摆动的弧长为 40 厘米, 求所有摆动的弧长之和. 设…
数字推理
数字推理题 数字推理即为探索数字排列的规律，并正确填补空缺数字的一类问题，一般形成规律至少需要三个数字，下面我们来看一些数字推理题，从简单到难排列. 加减运算 【例】1，2，3，5…
旧瓶换新瓶
夏季某超市做促销, 一瓶饮料元, 个瓶盖可兑换瓶新的, 个无盖的空瓶也可兑换瓶新的, 那么元最多可以喝到多少瓶的饮料？ 从纯数学角度来看, 个瓶盖可换瓶饮料, 个空瓶可换瓶饮料, …
切割三角形
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形就是直角三角形, 最长边所对的角为直角. 这就是勾股定理的逆定理. 从定理的内容可以看出, 它可以用来判断三角形的形状. …
电梯还不来
经常乘电梯的人有这样的体会：在电梯使用高峰期, 除非是在楼的底层或顶层, 否则你等来的第一部电梯它接下来要去的方向差不多总是与你希望去的方向相反. 这是一件非常令人恼火的事情. 也…
在哪里排队呢
你知道吗？在一个60人的班级中，至少有两个小朋友生日相同的概率竟然高达. 也就是在60人的群体中，很容易能找到2人是相同的生日. 那么在多少人的群体中，至少有两人生日相同的概率会大…
巧算直线分平面数
平面内n条直线最多能将平面划分成多少个区域？ 直接解决这个问题是比较困难的, 常见的做法就是考虑特殊的n, , 从特殊的结论中可以归纳出一般的结论然后进行证明；或者找到递推关系进而…
聚会前的握手
橘子先生和橘子太太参加了一次聚会, 同时出席的还有另外2对夫妇, 见面时大家互相握手. 但夫妇之间不握手, 也没有人与同一个人握2次手. 握手完毕后, 橘子先生统计了包括妻子在内其…
一笔画完全图
假设我们想“一笔画”画出下面的图形，但要遵循以下这些规则： 1.可以从图上的任何顶点开始. 2.一旦开始画，笔不能提起来，否则就算结束. 3.同一线段不能经过两次. 你能做到吗？先…
公园慢跑
中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形称为中心对称图形.这个点就是对称中心. 观察下面一组图形,哪些图形不是中心对称图形呢? 显然…
庆祝$\pi$日
3月14日是圆周率日，从圆周率常用的近似值3.14而来.通常是在下午1时59分庆祝，以象征圆周率的六位近似值3.14159.一些用24小时制记时的人会改在凌晨1时59分或下午3时9…
寻找最短路径
假设我们想“一笔画”画出下面的图形，但要遵循以下这些规则： 1.可以从图上的任何顶点开始. 2.一旦开始画，笔不能提起来，否则就算结束. 3.同一线段不能经过两次. 你能做到吗？先…
糖果路线图
假设我们想“一笔画”画出下面的图形，但要遵循以下这些规则： 1.可以从图上的任何顶点开始. 2.一旦开始画，笔不能提起来，否则就算结束. 3.同一线段不能经过两次. 你能做到吗？先…
证明人人都一样高
随着对自然数性质研究的深入，数学家们找到了一种证明与自然数有关的数学命题的简单有效的方法，具体步骤如下: （1）证明当取第一个值时，命题成立； （2）假设 ， 时命题成立，证明当时…
老师家的孩子们
三个女儿的年龄是非常经典的一个逻辑谜题, 流传甚广, 而且有多种版本, 我们来看其中一个版本. 人口调查员来到某户调查该家庭子女的年龄.有了以下的对话： “我家只有三个女儿,把她们…
短跑比赛
三名运动员A、B和C参加100米短跑比赛，假设他们跑步时速度保持不变. A冲过终点线时领先B 20米. B冲过终点线时领先C 20米. 那么A冲线时领先C多少米？ 你可能会不假思索…
堆叠立方体
当我们测量一个 平面图形的面积时, 我们会利用单位正方形去测量, 因为它们很容易排列成行和列. 正方形可以覆盖一个表面, 但它们不能覆盖一个 立体图形. 因此, 要测量像下面的直角…
公交车上
需要多少信息才能将三个人排好顺序, 比如三人跑步比赛？ 假设在A, B, C三人跑步比赛中, 我们只知道一个事实：B在C之前完赛. 那么整个比赛的可能情况是什么？ 我们通常可以通过…
1个属性不同
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
正方形螺旋
当正方形从最小的1×1单位正方形螺旋转出时, 每增加一个新正方形, 它的边也自动增加1个单位. 那么覆盖最大的L形区域需要多少个单位正方形？ 分析一下, 图中有五个L形区域. 每一…
无限的分割和涂色
谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子（自相似是近乎或确实和它的一部分相似）. 分形，是几…
青蛙绕圈跳
绘制八角星的一种方法是先作一个圆, 将圆八等分, 作出8个等分点, 然后从圆上的一个点开始, 向前跳3个点, 连线, 继续按这个规律可以画出下一条线段. 如图, 我们已经作出了八角…
分形求面积
谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子（自相似是近乎或确实和它的一部分相似）. 分形，是几…
弄丢了课表后
需要多少信息才能将三个人排好顺序, 比如三人跑步比赛？ 假设在A，B，C三人跑步比赛中，我们只知道一个事实：B在C之前完赛. 那么整个比赛的可能情况是什么？ 我们通常可以通过关注单…
神奇的9张牌
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
不同属性的“组合”数
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
图形谜题
尝试图形推理时，一种方法是找到图形变化的“规则”.如果在每种情况下都可以应用该规则，那这就是对图形进行推理的有效方法. 继续阅读以查看示例，或者跳过直接进入挑战. 请从所给的四个选…
“组合”数
三个好朋友正在玩一种特别的卡牌, 叫“跨维组合牌”, 每张卡牌上的图案都有4个维度（颜色, 形状, 数量, 填充）组成, 其中每个维度都有3种不同属性可选. 具体的来讲, 4个维度…
特殊函数$S(n)$
什么是函数？ 函数的近代定义是在某个变化过程中有两个变量，如果对于所在的某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作 （ ）…
2=1?
数学悖论可以被定义为非常令人吃惊的数学真理，甚至在每一步证明得到验证后仍然令人难以置信. 数学谬误也同样是令人吃惊的论断，但与数学悖论不同的是，其证明过程含有微妙的错误. 数学的每…
4=2的证明
你会解这个方程吗？ 首先得理解什么是, 这个称为指数塔，我们不妨从简单的开始讲起. 比如如何计算像这样的“指数塔”？ 从塔的底部开始还是从塔的顶部开始有区别吗？ 我们先来看一下从塔…
抛物线上的圆
如图所示, 半径为1的圆与抛物线相切于两点. 则圆心的坐标是多少? 显然圆心在轴上. 由于圆的半径固定为 可以想象如果将圆心往上移动，则圆和抛物线就不会相切，因此圆心到切点的距离可…
看似不可能的面积问题
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
大小正方形
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
按图索骥求长度
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
一眼看大小
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
重叠的三角形
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
求四边形的面积
从单位正方形面积开始, 我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式. 比如, 平行四边形与矩形的底边长和高度分别对应相等, 那么平行四边形的面积与矩形面积相同.如图所示： 面积 …
破解数字密码
每年的1月14日被定为世界逻辑日. “因为担心失衡跌倒, 我们的思想紧紧抓住逻辑这个扶手. ”这一精辟的比喻摘自安德烈·纪德的小说《新粮》, 它形象地概括了逻辑对于人类思想发展的重…
斑马纹三角形
我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢？ 答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比. 具体的来说, 如果有两个相似三角形, …
Fib数列中的偶数
在数学上, 斐波那契数是以递归的方法来定义： 也就是斐波那契数列由0和1开始, 之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出. 我们列出前面一些项：, 很显然数列的每一项数字越来越大…
特殊的四边形
圆是一种几何图形, 指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合. 这个给定的点称为圆的圆心. 定值称为圆的半径. 根据其定义, 可以看出圆是一个非常对称的图形, 它有无数条对称…
1=0的证明
分部积分法: 设 及 是两个关于 的函数，各自具有连续导数 及 , 且不定积分 存在，按照乘积函数求微分法则，则有 存在，且有分部积分公式如下 证明: 由 或 对上式两边求不定积分…
矩形内的雪人
圆是一种几何图形, 指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合. 这个给定的点称为圆的圆心. 定值称为圆的半径. 根据其定义, 可以看出圆是一个非常对称的图形, 它有无数条对称…
拉马努金无限嵌套
“他知识不足的程度跟知识的深厚都让人很吃惊. 他是能够发现模方程和定理的人……到达前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析…
正弦平方和
在任意角的终边上任取异于原点的一点P, 坐标为,并令, 必有 定义角的正弦, 余弦分别为 根据定义, 角的正弦余弦仅与角的大小有关, 而与角 的终边上点的位置无关, 因此我们可以用…
忘记密码后
你有没有听到身边的同事朋友说到过：“哎呀, 怎么办, 密码又忘记了？” 或者你有没有自己遇到过类似的情况, 突然要登录一个网站或者App, 却想不起来账号和密码. 如果密码是储存在…
3=0的证明
解方程： 解：等式两边乘以, 得解得 所以原方程的解为 以上解题过程正确吗？ 显然错误, 将代入原方程中, 得出现了分母为零的情况, 所以应该舍去, 原方程无解. 这个被称为增根.…
半圆折纸
折纸几何学，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究. 从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学…
哪幅图是正确的
图形推理题非常考验一个人的观察能力和逻辑推理能力. 尝试图形推理时，一种方法是找到图形变化的“规则”.如果在每种情况下都可以应用该规则，那这就是对图形进行推理的有效方法. 继续阅读…
有多少个1
我们的标准数字系统是十进制，这意味着数字可以表示为的幂的和. 当然也有其他进制，比如二进制，八进制，十六进制. 其中二进制应用也很多，尤其是在计算机中. 在二进制中，我们将数字表示…
不被啄的小鸡
在一个谷仓里, 有100只小鸡安静的围坐一圈. 突然间, 每只小鸡都同时以相等的概率啄食左侧或右侧的小鸡. 那么平均有多少只小鸡不会被其他小鸡啄到？ 这个问题来自于 2017 年美…
圆中圆
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分 别为 、 , 斜边长为 , 那么 . 证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法. 如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正…
圆的滚动
如图, 一个圆心为, 半径为的圆沿着直角的边内侧滚动一周, 且始终保持与三角形的至少一条边相切. 其中 当回到原来的位置时, 经过的路程是多少？ 我们来分析圆与三角形的两条边相切时…
求切线段长
切线长定理 切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线, 则切线长相等. 即如图, 切圆于点, 则切线段长度称为切线长, 有切线长相等 此定理的证明很简单. 过圆外一点作圆的切线, 则…
四分三角形
已知三角形底边长, 高为, 则其面积. 该公式说明如果三角形有固定的底边, 顶点变化但始终保持高度不变, 那么同底等高的三角形面积就一定相同. 进一步, 如果两个三角形底边相等, …
无序密码锁
不定方程有多少组正整数解? 如果采用枚举法，可以做但是略有些繁. 我们将这个问题赋予一个实际意义： 糖果分配：有10颗相同的糖果分给3个小朋友，每人至少一颗，那么总共有几种分配方案…
矩形五点
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分 别为 、 , 斜边长为 , 那么 . 证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法. 如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正…
1v1篮球赛
A、B和C三位选手在篮球场一对一单挑, 每场比赛后输球的人被换下. 若他们一共进行10场比赛, 那么他们三个人中, 每个人参与的比赛场数最多可能是多少？最少呢？ 分析与解：要求最多…
切线的角度
我们知道连接两圆中心的直线叫做连心线, 当两圆相切时, 切点必在连心线上．我们来回顾一下这个结论. 如图, 两圆外切, 由于垂直于切线, 垂直于切线, 平面上经过一点与已知直线垂直…
填数字
请耐心的观察下面这句话, 你能发现其中的错误吗？ 在这句描述中, 数字0出现了次, 数字1出现了次, 数字2出现了次, 数字3出现了次, 数字4出现了次, 数字5出现了次, 数字6…
筒中球
如图所示, 一个圆筒里装有四个球, 筒的内直径为10厘米, 4个球的直径都是5厘米. 求绿球球心和黄球球心之间的水平距离. 分析题意可知, 圆筒是一个圆柱体, 四个球大小相同且相互…
六根火柴
用六根火柴, 你能组成四个大小一样的三角形吗? 可以用四根火柴围成一个正方形, 再用其余两根放到它的对角线上. 但是在正方形中, 对角线长度是边长的倍, 因此三角形并没有闭合. 所…
分割平行四边形
通过割补法, 可以看到三角形面积是等底等高的平行四边形面积的一半. 若设平行四边形的底为, 高为. 那么平行四边形的面积为. 而等底等高的三角形面积为, 刚好是平行四边形面积的一半…
三个灯塔
海边有3个灯塔, 同时被点亮. 已知第一个灯塔每亮3秒, 会熄灭3秒;第二个灯塔每亮4秒, 会熄灭4秒;第三个灯塔每亮5秒, 会熄灭5秒. 那么几秒以后三盏灯第一次同时处于熄灭状态…
缺失的书页
一本书被撕掉了一张, 剩下书页的页码之和恰好等于. 若该书的页码是连续的且仅用阿拉伯数字标记, 则这本书可能有多少页？ 设该书的最大页码为, 则从页码1开始，连续的自然数相加到, …
多边形对角线
在平面凸多边形中, 对角线是连结两个不相邻顶点的线段. 那么任意一个凸多边形有多少条对角线呢？ 通项公式 多边形对角线数目可以由公式 给出. 其中为多边形的边数. 证明如下. 证明…
坏了的液晶显示屏
有一个液晶显示屏, 是由若干个圆点作为显示模块组成的一个矩形屏幕, 通电后, 圆点会点亮并呈现绿色. 在一个数学交流会上, 需要用这块显示屏呈现一些等式. 此时, 第一个等式出现了…
八边形的面积
如图, 在平行四边形中, 是各边中点. 将每个顶点和一条对边中点相连可围成一个平行四边形, 则该平行四边形面积占整个图形面积比是多少? 根据平行四边形的性质, 利用三角形全等可以证…
现在几点了
如图, 一个没有数字的钟表三个指针的长度相同, 你能看出现在的时间吗？ (12小时制) 这是一道钟表问题, 常见于小学奥数以及公务员考试题中. 求解这类题的关键在于对于某个时刻, …
解方程
不靠谱的图像 关于未知数的方程有多少个实数解呢? 我们知道方程求解问题可以看成两个函数图像交点问题. 将方程左侧看成函数, 方程右侧看成常值函数. 我们可以用画图软件绘制出函数图像…
9次项系数
二项式定理 二项式定理, 又称牛顿二项式定理, 由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出. 该定理给出两个数之和的整数次幂比如展开为类似项之和的恒等式. 具体的公式如下： 其中…
接受换牌吗
猜平均数的 假设名同学, 在不进行相互讨论的情况下, 每个人在纸上写下之间的任意一个数, 然后交给助教. 助教将根据每个人提交的数字计算算术平均数. 每个人的得分: . 也就是说得…
并排正方形
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分 别为 、 , 斜边长为 , 那么 . 证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法. 如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正…
矩形与半圆
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分 别为 、 , 斜边长为 , 那么 . 证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法. 如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正…
交叉重叠的矩形
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分 别为 、 , 斜边长为 , 那么 . 证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法. 如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正…
三角形个数
你能数出这个图上有多少个三角形吗？ 这个图是由若干个三角形拼成的, 因此会构造出新的三角形, 这就增加了问题的难度. 通过观察可以发现图形上下并不对称, 也没有规律可循, 看来只能…
有多少解
不定方程有多少组正整数解? 如果采用枚举法，可以做但是略有些繁. 我们将这个问题赋予一个实际意义： 糖果分配：有10颗相同的糖果分给3个小朋友，每人至少一颗，那么总共有几种分配方案…
解无理方程
反函数 在数学里, 反函数为对一个函数做逆运算的函数. 准确的定义为, 设为一函数, 其定义域为, 值域为. 如果存在一函数其定义域和值域分别为, 并对每一有： 则称为的反函数, …
与半圆相切的圆
我们知道连接两圆中心的直线叫做连心线, 当两圆相切时, 切点必在连心线上．我们来回顾一下这个结论. 如图, 两圆外切, 由于垂直于切线, 垂直于切线, 平面上经过一点与已知直线垂直…
分割矩形
如图, 有一个的矩形, 在矩形内部沿着网格线作直线将其分割, 可以分成几部分?分别是什么图形？ 如果作一条竖直的直线, 可以将其分成两部分, 这两部分一般都是矩形, 如果这条线位置…
比比谁更长
相交弦定理是指经过圆内一点引两条弦, 各弦被该点所分成的两条线段的乘积相等. 具体的来讲，如图, 圆内两条弦与弦交于点，则 证明过程如下：连结, . 由圆周角定理：同弧所对的圆周角…
没有特殊角
如图, 在四边形中, 已知, , , , . 则四边形的面积是多少? 显然有 因此图中的所有角度我们都知道了, 遗憾的是大部分都不是特殊角. 这种情况下你会选择继续计算还是另辟蹊径…
跳舞机器人
一个机器人被设定好程序放置在直角坐标系原点, 面向东北方向. 它每次触发动作都会在原地顺时针旋转. 具体的动作可以用下面的伪代码描述. SUB JOURNEY DISTANCE =…
求三角形内最小的角
为了化简三角比, 经常需要将它们的乘积形式与和差形式相互转化. 三角比的积化和差 由两个角的和或差的正弦公式, 可得 即 同理 由此可得下列两个恒等式： 类似地可得 这四个恒等式都…
半球里的方块
一个矩形内接于四分之一圆, 根据图中给出的线段长度,你能准确算出矩形对角线的长度吗? 这道题被收录在马丁加德纳趣题书中, 是很有意思的一道题. 有的人苦思冥想没想出来, 有的人一眼…
正方形内公切线
如图, 已知正方形内的半圆和扇形相切, 半圆的直径和扇形的半径都等于. 求公切线的长度. 我们知道解平面几何题, 辅助线是至关重要的. 本题显然要根据已知条件将圆心, 切点相连. …
算24点的情况数
组合数 假设 5 张红牌和 2 张黑牌排成一排. 如果所有的红牌都无法区分，所有的黑牌都无法区分，那么有多少种方法可以将它们排成一排？ 我们可以把这个问题想象成有 7 个位置可以放…
关于回文日的若干事实
今天是2021年12月2日，若将其写成年月日相连的八位数：20121202，则从左往右读和从右往左读是一样的，这样的数称为回文数，因此今天便是一个回文日. 下面我们就来介绍回文日的…
破扇子
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
旋转正方形
如图所示, 正方形以其顶点为中心顺时针旋转角到正方形, 此时三个顶点共线, 问角度等于多少? 设正方形的边长等于, 则对角线长等于. 如图连接 则, 解得. 于是 . 因此旋转角度…
分形维度（维度系列3）
直线是1维的, 平面是2维的, 在上一个挑战中, 我们发现海岸线维度介于两者之间. 海岸线充满了曲折和粗糙的棱角, 它占据的空间比一条直线更大, 但却不及一个平面. 海岸线是一个自…
年龄问题
平方差公式 平方差公式是指一个数的平方减去另一个数的平方等于这两数和与差的乘积： 几何证明 在下面的图形中, 绿色区域面积等于边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积. 即 将顶部…
七块小方格
如图, 有四个完全相同的直角三角形, 它们的两条直角边长分别是和, 用这四个三角形拼成一个大正方形. 拼成的大正方形的面积是多少? 方法一 由图可知, 大正方形的面积 = 四个直角…
海岸线的维度（维度系列2）
海岸线有多长？这个问题的答案会因提问的人以及他们的测量方式得到不同的答案. 甚至一个“无限”的长度也是一个合理的答案！这就是所谓的“海岸线悖论”. 正如本系列的前一个挑战中介绍的那…
你真的了解维度吗？（维度系列1）
你有没有思考过这样的问题，我们生活在多少维度？许多人会说三维，也有人会说四维——因为爱因斯坦向我们阐述的时空观中，时间是除了我们熟悉的三维空间以外的第四个维度. 而在一些物理学理论…
半圆藏于扇形
等腰三角形 在几何学中, 等腰三角形是指至少有两边长度相等的三角形, 因此会造成有2个角相等. 相等的两个边称等腰三角形的腰, 另一边称为底边, 相等的两个角称为等腰三角形的底角,…
分数推理
这是一道来自比利时的奥数题： 请问分别等于多少? 推理X的值 假设, 则总和将至少为. 由于, 因此. 假设, 则总和将至少为. 由于, 因此. 故. 推理Z, Y的值 把代入得 …
残缺的棋盘求概率
这是一道非常经典又古老的棋盘问题： 有一个 的棋盘，将棋盘的对角处的两个方块去掉. 我们能否用由两个方块组成的长方形（二联骨牌）铺满剩下的棋盘（62个格子）？ 正确答案是不能. 你…
两船相遇
甲乙两船分别从A, B港口相向而行, 它们都以恒定的速度往返一次. 经过时间它们第一次在距A港口500米处相遇, 又经过时间它们第二次在距B港口300米处相遇. 则 设两船速度分别…
三圆围绳
如图所示, 三个直径为1的圆被一根绳子围起来, 则绳子与圆接触部分的长度是多少? 连接圆心与各切点, 由切线性质可知其与切线垂直. 观察易知三段与圆接触的圆弧刚好可以构成一个直径为…
正方体谜题
公共棱 下图是一个立方体的展开图, 每个面都写有字母. 若每条棱都用其相邻的两个面上的字母表示, 如面和面的公共棱用表示, 那么如何写出所有棱? 由图可知面和相对, 因此面相邻的四…
火柴平分角
让我们回忆一下过任意点作直线的垂线步骤: 以点为圆心,任意长为半径画弧,交分别于,点; 以,为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于点; 连接,有. 随着几何学的发展,尺规作图也衍生出来…
空中的大猩猩
牛顿第二定律 1687年, 英国物理泰斗艾萨克‧牛顿在《自然哲学的数学原理》里, 提出了牛顿运动定律, 其中有三条定律, 分别为牛顿第一、第二与第三定律. 牛顿第二定律又称为“加速…
当船上的石头落水后
国王的皇冠 相传叙拉古赫农王让金匠替他做了一顶纯金的王冠, 做好后, 国王疑心工匠在金冠中掺了银子, 但这顶金冠确与当初交给金匠的纯金一样重, 到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假,…
自行车的车辙
在福尔摩斯的小说《修院学校探案》中有这样一个例子: 福尔摩斯仅凭地上留下的自行车车辙就判断出来它离开的方向. 他的结果当然是正确的, 但是在书中给出的解释并不正确. 那么如何根据自…
旋转的螺栓
螺旋通常是表面具有凹凸不平呈螺旋线型条纹的圆柱体或圆孔体, 称这种圆柱体为“螺杆”、圆孔体为“螺母”、螺旋线型条纹为“螺纹”. 螺旋最早出现于古希腊时期. 历史学者认为阿基米德或塔…
光影问题
投影（projection）是指图形的影子投到一个面或一条线上. 投影法分为中心投影法和平行投影法. 中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影. 如果把中心投影法的投射中心即光源移…
聚餐AA制
有个人, 他们分别有块蛋糕, 接着有个人加入他们一起吃蛋糕, 这个人每人支付枚硬币. 那么原先个人中第个人应该拿到多少硬币才合理? 这个问题中我们应该计算清楚个人每人拥有几块蛋糕，…
最小三角形
如图所示, 直角三角形里有一个矩形, 两个小三角形的高和底分别为4和3, 则绿色矩形的面积是多少呢? 显然两个小直角三角形是相似的. 设矩形的长和宽分别为. 由相似三角形得. 解得…
矩形分割正方形
从单位正方形面积开始，我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式，甚至是具有周期性的形状. 比如，平行四边形与矩形的底面积和高度分别对应相等，那么平行四边形的面积与矩形面积相同.…
月牙之谜
根据勾股定理，可知上图中的面积关系: 那么如果将三个正方形变成下面的半圆,是否还有这样的等量关系呢? 下面给出证明: 设直角三角形三边分别为,和,则 结论仍旧成立. 那么你能用这个…
对数的对数的对数的对数
【对数】在数学中,对数运算是幂运算的逆运算. 若,则有 其中是对数的底（也称为基数）,而就是(对于底数）的对数. 【对数函数】 考虑一个由对数方程定义的函数 ， 则有 这是一个定义…
米桃正方形
下面这个钉板三角形的边都是整数.它之所以成立是因为这是一个直角三角形，它的所有边构成了一组勾股数.最小的勾股数是，它非常适合我们的钉板. 我们能在上面画一个三角形吗,并且三角形所有…
染色问题
下图中包含了五个区域，为了使相邻的区域颜色不同，我们要对下图区域进行填色. 这就是我们需要填充的颜色的数量吗? 这是制图师在绘制许多有共同边界的省地图或国家地图时所面临的问题. 我…
正有理数多，还是正整数多
大家都知道， 自然数 (即0, 1, 2, 3, ...) 有无穷多个， 正整数 (即 1, 2,3, ...) 也有无穷多个. 现在我们来考虑这样一个问题： 全体自然数和全体正整…
一道闪电所成的角
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
求极限
不定式 在微积分中, 不定式（又称未定式）是指这样一类极限, 其在按极限的运算规则进行代入后, 还未能得到足够信息去确定极限值. 这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥在19世纪中叶提出…
巧算八边形的面积
圆的半径 一个八边形的四条短边长度为2, 四条长边长度为3. 则其外接圆的半径 不妨设较大的圆心角为, 则较小的圆心角为. 则在大三角形中有 同理在小三角形中有 化简得 两式相加得…
岔路口
逻辑学真是一门神奇的学问，我们都听过《国王与预言家》的故事吧，故事是这样讲的： 在临上刑场前，国王对预言家说：“你不是很会预言吗？你怎么不能预言到你今天要被处死呢？我给你一个机会，…
连续抛硬币
假设一个事件发生的概率为, 那么在重复、独立的试验中, 平均要多少次试验, 这个事件才会发生一次？如果连续发生多次呢？ 将这个问题具体化, 问题1：一枚硬币, 抛出正面和反面的概率…
滚动的硬币
如图所示有两枚相同硬币, 让右边的硬币保持不动, 同时让左边的硬币绕着它不滑动地滚动. 到了另一边狗狗的头是朝上还是朝下呢？ 大多数人的第一反应都是头会倒过来, 但是正确答案是狗狗…
有多少个零
二进制（binary）是指以2为基数的记数系统. 这一系统中, 通常用两个数字0和1来表示. 如果我们从小学习的数学是以二进制为计数系统的, 那么数学老师就不会告诉我们"逢十进一"…
一直线分8圆
如图，两圆外离，如何用一条直线平分圆A和圆B的面积呢？ 最直接的做法是连接圆心, 或者在两个圆之间任意取直线. 除此之外, 我们可以取AB的中点M, 过点M的任意一条直线都平分了两…
正四面体上的蚂蚁
三只蚂蚁在一个等边三角形的顶点上. 每只蚂蚁随机选择一个方向, 开始沿着三角形的边缘爬行到下一个顶点. 若蚂蚁爬行速度相同, 则蚂蚁之间不会相遇的概率是多少？ 为了不发生相遇, 只…
变形的硬币
小张一家因为疫情需要在家隔离14天. 隔离的日子有些无聊, 姐弟俩决定小赌一番. 但是家里没有骰子和扑克牌, 于是弟弟拿出了一枚硬币. 每掷一次硬币, 若正面朝上, 则姐姐赢；若反…
余数谜题
在算术中, 当两个整数相除的结果不能以整数商表示时, 余数便是其“余留下的量”. 当余数为零时, 被称为整除. 如果和是两个自然数, , 可以证明存在两个唯一的整数和, 满足且. …
角度和
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
天气预报
在橘子小镇, 天气变化非常有规律——要么整天晴天, 要么整天多云, 要么整天下雨. 并且晴天的概率为 , 下雨的概率为 , 剩下的概率为多云. 某天晚上, 橘子小镇粗心的天气预报员…
星期二男孩问题
假设生男生女的概率是一样的，现在有一个家庭有2个小孩，其中至少一个是男孩，问这2个孩子都是男孩的概率是多少？ 你也许会想生男生女的概率都是,那么两个男孩的概率应该是啊？但答案是. …
三人决斗游戏
A, B, C三人安排了一场三人决斗游戏. A枪法最差, 平均3次射击只有1次击中目标；B稍好一些, 平均3次射击有2次击中目标；C枪法最好, 每次都能击中目标. 为了使决斗比较公…
只有$4\%$的人能选对
在逻辑学中： 当命题“若P则Q”为真时, P称为Q的充分条件, Q称为P的必要条件. 因此： 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时, P是Q的充分必要条件, 同时, Q也是P的…
躺平的飞行员
最近“躺平”一词迅速蹿红年轻人社交圈. 某岛上的飞行员们也纷纷选择躺平: 他们每天只飞行一次, 而且只降落在离起点最近的机场. 其中岛上任意两个机场的距离都不相同. 从该岛的地图中…
绕管绳长
一只蚂蚁从圆锥底面的点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到母线的中点, 那么该怎样爬行路径最短呢？ 我们知道两点之间线段最短，而本问题是要求沿着圆锥的侧面也就是曲面经过的路径，能否将这个…
堆雪人
你知道球体体积公式吗？如果不用微积分怎么求球体体积呢？下面介绍用祖暅原理求球体的体积. 祖暅原理：两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等. 现有一个半球体，和一个圆柱.…
寻找整数解
丢番图方程, 又称不定方程, 是解为整数的整系数多项式等式，即形如的等式, 并且其中所有的和均是整数. 若其中能找到一组整数解则称之有整数解. 丢番图问题一般可以有数条等式, 其数…
方程无解？
代数方程是未知数和常数进行有限次代数运算所组成的方程.代数方程包括有理方程和无理方程.有理方程又包括整式方程与分式方程. 代数方程求解其实就是寻找等价方程的解，那么有哪些途径呢，主…
折纸中的数学
折纸数学是指对折纸艺术从数学的角度加以研究. 将一张纸不断对折，你能折几次？一般都只能折7-8次，但是有一个高中生，名叫Britney Gallivan对这个问题很感兴趣，她将纸成…
求这茬韭菜的面积
从单位正方形面积开始，我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式，甚至是具有周期性的形状. 比如，平行四边形与矩形的底面积和高度分别对应相等，那么平行四边形的面积与矩形面积相同.…
火柴棍的顶角
在几何学中,等腰三角形是指至少有两边长相等的三角形,自然会推出有2个角相等.相等的两条边称等腰三角形的腰,另一边称为底边,相等的两个角称为等腰三角形的底角,其余的角叫做顶角. 在等…
内接正方形
今天的挑战题是比较圆的内接正方形和半圆的内接正方形面积关系，因此在正文里我们来介绍如何用尺规作图做出这两个图形吗？ 尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺,并且只准许使…
分割三棱柱
如何将一个钝角三角形分割成若干个锐角三角形？要求每次切割都是直线，并且最多切割7次. 你可以拿张纸画一画试试看. 你可能是这么想的，从顶点出发切割到对边，一个钝角三角形就分成了两个…
粉红猫爪
如图所示梯形ABCD的对角线交于点E,那么阴影部分的两个三角形的面积有什么关系呢? 要解决这个问题,其实不需要知道任何形状的大小. 我们只需要设阴影区域的面积分别为和，的面积为. …
指数塔
回想一下你第一次学习如何将两个正整数相乘, 例如. 一种可行的方法是做多次加法, . 你也可以通过“跳跃计数”计算, 我们称为“链式”加法.因此, 四个3的链式加法等效于. 那么四…
球衣号码是多少？
每年的1月14日被定为世界逻辑日. “因为担心失衡跌倒，我们的思想紧紧抓住逻辑这个扶手。”这一精辟的比喻摘自安德烈·纪德的小说《新粮》，它形象地概括了逻辑对于人类思想发展的重要作用…
骗子？骗子们？
在一个遥远的海岛上,有一些居民总是说真话,有一些居民总是说假话,他们分别属于说真话者部落和说假话者部落.没有任何其他外在的标记把这两个部落的人区别开来. 某一天,你来到这个岛上,遇…
三刀切矩形
黄金比例 黄金比例, 又称黄金分割, 是一个数学常数, 一般以希腊字母表示. 黄金比例的准确值为, 所以是无理数, 应用时一般取1.618. 黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身減1…
珠宝失窃案
你写完作业了吗？ 甲、乙、丙、丁四人讨论本班同学完成作业的情况. 甲说：班里所有同学都写完了作业. 乙说：如果小李写完了作业, 那么小赵就没有写完作业. 丙说：小李写完了作业. 丁…
巧用勾股定理
要问平面几何里最有名的数学结论，想必很多人都会回答：勾股定理. 勾股定理确实是平面几何中一个基本而重要的定理. 勾股定理指的是在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来…
今天星期几？
每年的1月14日被定为世界逻辑日. “因为担心失衡跌倒, 我们的思想紧紧抓住逻辑这个扶手. ”这一精辟的比喻摘自安德烈·纪德的小说《新粮》, 它形象地概括了逻辑对于人类思想发展的重…
不可能的猜数字谜题
三个女儿的年龄是非常经典的一个逻辑谜题, 流传甚广, 而且有多种版本, 下面我们来看人口调查的版本. 人口调查员来到某户调查该家庭子女的年龄.有了以下的对话： “我家只有三个女儿,…
N块石头
对于大部分游戏来说, 寻找最优解是非常困难的. 以围棋为例, 穷尽所有的计算, 对于全球最快的电脑也几乎是不可能的. 在阿尔法狗出现之前, 电脑只能在小棋盘（如9×9）中变化有限的…
求角
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
向右走
对于大部分游戏来说, 寻找最优解是非常困难的. 以围棋为例, 穷尽所有的计算, 对于全球最快的电脑也几乎是不可能的. 在阿尔法狗出现之前, 电脑只能在小棋盘（如9×9）中变化有限的…
同心圆环面积
已知在外圆内与内圆相外切的线段长度，即图种红色线段的长度，如何计算这个橙色圆环的面积？ 环的面积显然是通过外圆的面积减去内圆的面积来计算的. 不妨把外圈的半径设为, 内圈半径设为.…
分蛋糕
如图所示是一个蛋糕的俯视图,如何优雅的将其分成6份确保每个人都可以吃到芒果呢? 一个比较简单的方式是通过五角星来分割: 但是会造成一个问题,多出来了5块蛋糕. 有时候我们不必留下这…
重构四边形
【布雷特施奈德公式】在几何学当中,布雷特施奈德公式是一条任意四边形的面积公式,由德国的数学家布雷特施奈德所发现： 其中,为四边形的边长,为半周长,即,而为其中二个对角. 此公式可用…
婆罗摩笈多公式
已知三角形三条边长，如何求三角形面积，你肯定会说用“海伦公式”，那如果已知四边形的四条边长，如何求四边形的面积呢？有类似的公式吗？有！婆罗摩笈多公式.但要求该四边形具有外接圆，下面…
正多边形面积
三角形的面积是二分之一底边乘高度,即 我们用该公式可以简单的推导出任意正多边形的面积公式. 下面以一个正方形为例,按下图方式分为4个区域: 那么正方形的面积就可以用4个三角形的面积…
长方体涂色
有一个长方体，长宽高分别为,另有一个正方体，边长为,请问这个长方体和正方体，哪个容积（体积）更大？ 答案很显然，正方体的体积大于长方体体积. 那么在这个问题里隐含了一个怎样的重要不…
银币与金币
小明和小橘有一些价值20元的银币和价值50元的金币, 每个金币比银币重2. 7g. 小明有64个银币, 小橘有104个银币. 若他们的硬币总数相同, 且小明的硬币的总质量是1. 1…
暗箱彩球
一个箱子里有三种不同颜色的小球. 其中13个小球不是红色, 5个小球不是黄色, 12个小球不是绿色. 则箱子里一共有多少个小球? 方法一 设箱子中一共有个小球. 有个红球, 个黄球…
分配小球
提出问题 现在你有50颗红球, 50颗蓝球以及两个罐子. 你可以任意分配这100颗球进入这两个罐子, 记住全部球都必须被放进去. 放进去之后, 从两个罐子之中随机选一个罐子, 再随…
匹诺曹撒谎后
国际象棋棋盘与麦粒问题 国际象棋棋盘与麦粒问题（麦粒也作米粒），是一个非常有名的数学问题. 其中一个版本是这么说的： 国际象棋起源于印度，国际象棋棋盘上共有8行8列，构成64个格子…
你能找全所有正方形吗？
在一个标准的国际象棋棋盘上有多少个正方形? 显然棋盘上有8种大小不一的正方形, 因此我们需要算出从1×1到8×8的所有正方形数量. 解决问题的关键是要考虑每种大小的正方形在行和列上…
切线交点的轨迹
给定一个椭圆, 若椭圆外一点到椭圆有两条垂直的切线, 则点的轨迹是什么图形呢? 不妨设椭圆方程为 下面我们将证明点的轨迹是一个以原点为圆心, 半径为的圆. 设是椭圆的切线（斜率存在…
大数运算
大数 庞大的数字通常采用科学计数法计数, 即把数字记成形式 (其中) . 如写作. 大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始, 他在理论上提出了一种表示大数的方法, 但他是否创设了…
旋转卡片
将一个平行四边形绕其一条对角线旋转一周, 得到的几何体的体积是多少？ 设平行四边形的边长为和, 其中, 对角线长度为, 将平行四边形以长为的对角线为轴旋转. 则体积为 因此体积. …
取扑克牌游戏
取扑克牌游戏 一堆扑克牌共6张牌，其中3张红牌3张黑牌无顺序的放置在一起并且牌面都朝下, 现在你可以一张一张地从上到下拿牌. 如果抽到红牌奖金增加一元，抽到黑牌奖金减少一元. 你可…
棋盘有多少矩形
国际象棋棋盘共有个格子，一只兵在棋盘的左下角，每次它只能向右或向上移动一格. 那么它有多少条路径走到棋盘的右上角？ 如图，给出多条可行的路径，可以发现每条路径都是向右走7步，向上走…
极具迷惑性的一道求面积题
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏. 为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来…
体积比大小
如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆，则图中两块阴影部分面积的大小关系怎样的？ 这道题其实是很经典的一个问题，如果你很熟悉解题方法，那可以跳过下面内容直接进入今日的…
公交车上的人数
井底青蛙跳出井口的谜题大家可能都熟悉，却也是一个经久不衰的老少皆宜的问题. 如果你非常熟悉下面的问题，那么可以跳过直接参加今天的挑战题. 问题：现有一口高5米的井, 有一只青蛙坐在…
没人点的菜
咖啡馆里, 一位心不在焉的女服务员根据订单, 拿了十种不同的饮料, 但她忘记了谁点了什么饮料. 那么有多少顾客能拿到自己点的饮料呢？如果服务员随机分配饮料, 我们就无法确定有多少顾…
寻找巧克力
一只蚂蚁从圆锥底面的点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到母线的中点, 那么该怎样爬行路径最短呢？ 我们知道两点之间线段最短，而本问题是要求沿着圆锥的侧面也就是曲面经过的路径，能否将这个…
超难初等几何题
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
圈圈圆圆圈圈
如图，有一个腰长为13，底边长为10的等腰三角形，其内有无穷多个圆，这些圆都与三角形的边相切，并且相邻圆之间外切，那么所有这些圆的周长和是多少呢？ 我们来分析一下，要求圆的周长，就…
有趣的数字
数学之美有时隐藏在它令人惊讶的数字规律中，无需多言，让我们来欣赏几个例子. 那么你能观察出今天的挑战题中隐藏的规律吗？
海盗分金
海盗博弈（英文： Pirate game），或强盗分金问题是一个简单的数学博弈. 该博弈描述了如果遵循经济人的行为，结果可能与常人的直觉相悖. 下面我们来看具体的问题. 一艘海盗船…
不同生日数
随机排列问题 有个不同元素的一个排列, 若将其重新随机排列, 那么有多少元素的位置不变？ 事实上如果你直接计算, 那么式子会十分复杂. 我们不如先看个特殊例子，令, 即三个元素随机…
赤道围绳
圆周率 我们知道, 圆的周长, 面积, 你知道公式中的是怎么计算出来的吗?学过了正多边形和圆, 就可以说出其中的道理了. 由公式可得. 因此, 如果已经求得圆的周长, 那么只需把它…
折纸几何
折纸几何学，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究. 从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学…
三个女儿的年龄
小强参加学校举行的小学生知识能力竞赛, 比赛结束后, 小花问小强得了第几名, 小强故意卖关子, 说：“我考的分数、名次和我的年龄的乘积是1958, 你猜猜看.”小花想了没多久就说出…
搜寻机器人
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广. 对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的乘…
有多少组解
问题：关于未知数的不定方程有多少组非负整数解? 由题意可得, 因此可以取闭区间内的所有整数，共51种选择. 并且每个的值都决定了唯一的一个的值. 因此方程有51组非负整数解. 将这…
环形排列
对于大部分游戏来说, 寻找最优解是非常困难的. 以围棋为例, 穷尽所有的计算, 对于全球最快的电脑也几乎是不可能的. 在阿尔法狗出现之前, 电脑只能在小棋盘（如9×9）中变化有限的…
女生散步问题
柯克曼女生问题 1850年，英国神甫科克曼提出了15个女学生问题：一位女教师每天带领班上的15名女生去散步，她把这些女生按3人一组分成5组，问能不能作出一个连续散步7天的分组计划，…
正方形里的四边形
设是一个四边形, 、 、 、 分别为 、 、 、 四条边的中点. 如何证明绿色四边形的面积是面积的一半? 假设四边形是凸的, 如图所示（凹的情况也类似）. 添加两条辅助线和, 如虚…
神秘的数字
素数 素数, 又称质数, 指在大于1的自然数中, 除了1和它本身外, 无法被其他自然数整除的数，或者说只有1与其本身两个正约数的整数. 大于1的自然数若不是素数, 则称之为合数. …
密室扑克牌
你正在参加密室逃脱游戏，你进到一个密室，看到一副扑克牌，这时候突然密室断电，一片漆黑，广播响起，告诉你这堆牌中有10张牌面朝上，要求你将这堆牌分成两堆，使得两堆牌中牌面朝上的牌数量…
猜生日
生日谜题 A和B刚刚与C成为朋友, 他们想知他的生日是什么时候. C给他们列出了10个可能的日期. 5月15日, 5月16日, 5月19日 6月17日, 6月18日 7月14日, …
圆内的正方形
要问平面几何里最有名的数学结论，想必很多人都会回答：勾股定理. 勾股定理确实是平面几何中一个基本而重要的定理. 勾股定理指的是在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来…
正方体里的小球
已知正方体的边长，如何求其体对角线长呢？ 如图，设正方体边长为, 根据勾股定理， 则其底面对角线长为 , 所以正方体对角线长为 .
有多个答案的加法？
近代数学在提出无穷学说之后，果然像希腊人担心的那样，在数学界引起了混乱，令数学家烦恼不已. 那么，无穷引起了什么样的怪事呢？ 今日的挑战题就是捷克哲学家、数学家波尔查诺所著《无穷悖…
求矩形的边长——跳进盒子
要问平面几何里最有名的数学结论，想必很多人都会回答：勾股定理. 勾股定理确实是平面几何中一个基本而重要的定理. 勾股定理指的是在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来…
角的变换
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
策划球赛
淘汰赛，就是将比赛分为连续的几个轮次，每一轮都有几组两队之间的比赛，败者被淘汰，胜者进入下一轮继续分组进行比赛. 最后一轮通常称为决赛，决赛中的胜者即为冠军. 这种赛制下，参赛者必…
高楼扔鸡蛋实验
给你两个相同的异常坚硬的鸡蛋, 通过在一栋100层楼的不同层扔下鸡蛋进行实验, 试验出不会摔碎该鸡蛋的最高楼层（即临界楼层）. 已知未碎的鸡蛋可以重复使用. 那么最少的实验次数等于…
一排石头
尼姆游戏，是一种两个人玩的回合制数学策略游戏.游戏者依据规则轮流从若干堆石子中拿取，拿走最后一个是赢家.尼姆游戏有很多的变体.今天我们讨论比较经典的一种尼姆游戏.我们来看下面的例子…
消失的引力
开普勒定律是由德国天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒所发现的关于行星运动的定律. 开普勒于1609年在他出版的《新天文学》科学杂志上发表了关于行星运动的两条定律, 又于1618年, …
砝码排队
给你一架天平和5个外观相同的砝码, 你要多少次称重可以将它们按重量排序呢? 为了确保结果一定正确,你可能会将每一组都称重一次.这种"暴力"的策略需要称重次. 也许你比较幸运,每次选…
分式比大小
是众所周知的平方差公式.下面给出两种证明: 证明一: 证明二: 图中阴影部分面积是正方形面积减去小正方形面积,即. 若直接计算阴影部分的面积就是. 因此 那么你能利用平方差公式完成…
等边三角形的高
三角形是多边形中最基本的图形,其面积公式有十余种之多. 下面简单地介绍七种面积公式: 基本公式 三角形的面积是底边与高乘积的一半,即： 其中的高是指底边与对角的垂直距离. 已知两边…
三环生一环
三个半径相等的圆交于一点,圆心分别为和, 其他三个交点分别记作点,你能找出与线段的长度相等的线段吗？ 如图所示连接蓝色线段, 三个圆的半径都相等，因此有四边形是菱形，因此平行且等于…
13个三角形
在正的边上取三等分点.连接后内部形成正 将正分别以其三边为轴作对称: 此时已经可以明显看出来外围也有全等的三角形: 再补全剩下的缺口就可以得到 显然有13个一样的正三角形. 那么你…
出自《海岛算经》
《海岛算经》是三国时代魏国数学家刘徽所著的测量学著作，原名为《九章重差图》，附于《刘徽九章算术注》之后作为第十章. 唐代将《重差》从《九章》分离出来，单独成书，按第一题“今有望海岛…
抽象函数的定义域
16，17世纪,数学家们正式确定了对数字或平面上的点,或者更广泛地说,对任意集合的元素进行变换的想法. 1675年左右,莱布尼茨为这些规则创造了 "函数 "一词,后来被欧拉普及,欧…
至少需要多少名守卫？
美术馆问题最初由美国数学家 Victor L. Klee 在 1973 年提出. 美术馆问题是计算几何中的一种可见性问题，来源于现实世界中的看守美术馆的问题: 如何用最少的守卫看守…
平行切割
从单位正方形面积开始，我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式，甚至是具有周期性的形状. 比如，平行四边形与矩形的底面积和高度分别对应相等，那么平行四边形的面积与矩形面积相同.…
好多三角形
我们可以将角视为旋转的图形，角的大小就是旋转量，如图 在一个图形中，有多个角时，他们的大小是相互联系的.我们可以将这些关系用来解决一些角的大小问题. 继续阅读以获取更多信息，或者直…
多边形分平面
两个相同的正四边形(正方形)能将一个平面划分的最大区域数是多少? 在上图中，我们看到可以用两个正方形将平面分成个区域(包括两个正方形外面的部分)，但这是最大值吗? 如果不是，我们如…
点图中的三角形
在用点组成的网格图中，可以构建出多少个三角形呢? 要找到正确答案，我们需要面临两个挑战——真实并准确地数到每个三角形，并且避免把任何不构成三角形的三个点算入总个数. 在今日挑战中，…
六角大楼
设想一个这样的情景,你站在一栋六角大楼的外面,该楼的俯视图是正六边形,那么你能看到该楼的几个面呢? 我们可以从空中降维: 此时问题变成了在平面中的正六边形外任取一点,你能看到该多边…
图形找规律
尝试图形推理时，一种方法是找到图形变化的“规则”.如果在每种情况下都可以应用该规则，那这就是对图形进行推理的有效方法. 继续阅读以查看示例，或者跳过直接进入挑战. 请从所给的四个选…
内切圆问题
与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆.特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.…
求彩带重叠部分面积
从单位正方形面积开始，我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式，甚至是具有周期性的形状. 比如，平行四边形与矩形的底面积和高度分别对应相等，那么平行四边形的面积与矩形面积相同.…
求平面图形的面积
圆的面积是,是圆的半径. 那么扇形的面积怎么计算呢？如果扇形的圆心角为,那么它恰好是圆的份，所以面积是. 根据图形的构造，将图像通过切割补全等，可以计算不规则图形的面积.
如何裁剪餐垫
【勾股定理】 在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达： 【例题】我们来…
堆积的正方体
我们看到过，运动员投出的标枪落地后，大都是插在地面上的，它们的状态有时“偏陡”，有时又“偏平”.如何描述这种“偏陡”或“偏平”的程度呢？这里涉及到直线与平面所成角的大小. 直线l和…
河上荡杯
我国古代的众多书籍之中，很多都有分数的影子；比如，战国时魏相李悝（前455 — 前395年）所著《法经》中开列了一个五口农家年收支的细帐. 实际上是一道包括分数乘法在内的复杂的四则…
如何用最少的守卫看守美术馆
美术馆问题最初由美国数学家 Victor L. Klee 在 1973 年提出. 美术馆问题是计算几何中的一种可见性问题，来源于现实世界中的看守美术馆的问题: 如何用最少的守卫看守…
角度谜题
我们看到下图中有一个不规则的六边形，已知其中五个角的角度，那么如何求得剩余的一角的角度呢? 把一个图形分解成更小、更容易处理的部分有时可以简化问题.所以我们考虑把这个六边形分成几个…
钉板上的三角形
下面这个钉板三角形的边都是整数.它之所以成立是因为这是一个直角三角形，它的所有边构成了一组勾股数.最小的勾股数是，它非常适合我们的钉板. 我们能在上面画一个三角形吗,并且三角形所有…
跳跳蛙
要问平面几何里最有名的数学结论，想必很多人都会回答：勾股定理. 勾股定理确实是平面几何中一个基本而重要的定理. 勾股定理指的是在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来…
哪个平面图形能被密铺
密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 多联骨牌是由若干个单位…
求矩形面积
从单位正方形面积开始，我们通过割补法可以发现各种平面图形的面积公式，甚至是具有周期性的形状. 比如，平行四边形与矩形的底面积和高度分别对应相等，那么平行四边形的面积与矩形面积相同.…
至少拿走几根火柴
这是一个由9根火柴棍组成的图形，数一数有多少个三角形？ 注意倒置的三角形和整个大三角形都要算. 如图所示，总共有5个三角形. 那么下图呢？ 哇，这么多三角形，怎么数呢？依旧枚举法，…
三角形个数
如图，这是一个由24根火柴棍组成的图形，数一数，有几个正方形？ 按照边数进行分类枚举，边长为的小正方形共有9个，边长为的正方形共有4个，边长为的正方形共有1个，因此总共有14个正方…
最多加几根火柴？
如图，这是一个由24根火柴棍组成的图形，数一数，有几个正方形？ 按照边数进行分类枚举，边长为的小正方形共有9个，边长为的正方形共有4个，边长为的正方形共有1个，因此总共有14个正方…
哪根火柴可以拿走？
这是一个由12根火柴棍组成的图形，共有5个正方形. 现在我们拿走3根火柴棍，然后在剩下的火柴中移动2根，是否能恰好形成3个正方形呢？ 继续阅读以寻找答案，或者跳过直接思考今日的挑战…
1名守卫能看守美术馆吗？
美术馆问题最初由美国数学家 Victor L. Klee 在 1973 年提出. 美术馆问题是计算几何中的一种可见性问题，来源于现实世界中的看守美术馆的问题: 如何用最少的守卫看守…
正方形内的正方形
如图，哪块阴影区域的面积更大, 蓝色区域还是黄色区域？ 通过添加辅助线，作一条垂线，便可以看出正确答案，如下图 我们可以证明答案是正确的：蓝色区域面积等于黄色区域面积，因为黄色区域…
平行四边形和圆
每个圆的半径为，平行四边形是运动的，但其左右两条边始终经过外面两个圆的圆心，上下两条边与圆相切，具体如图所示， 虽然平行四边形可以变化，但是在这变化过程中，有始终不变的量. 你可以…
求阴影部分的面积
在下图中, 两小圆的直径均等于大圆半径. 若两小圆面积之和为平方单位, 阴影部分的面积是多少平方单位? 令大圆半径为, 则小圆半径为. 圆面积与半径平方成正比, 则小圆与大圆面积比…
取石头游戏
尼姆游戏，是一种两个人玩的回合制数学策略游戏.游戏者依据规则轮流从若干堆石子中拿取，拿走最后一个是赢家.尼姆游戏有很多的变体.今天我们讨论比较经典的一种尼姆游戏.我们来看下面的例子…
应该移去哪块正方形？
密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 多联骨牌是由若干个单位…
用哪个骨牌不能密铺
密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 多联骨牌是由若干个单位…
阴影部分的面积是多少
圆的面积是,是圆的半径. 两圆外切指的是圆心与圆心之间的距离等于半径之和. 根据以上提示，挑战一下今日趣题吧？！
仙人掌的距离
已知直角梯形的上底长为a,下底长为b,高为h. 根据梯形面积公式有: 我们知道对角线可以把梯形分成4个三角形,那么它们的面积可以只用a,b和h表示吗? 由于三角形1,2,3的底边已…
圣诞树
泰勒斯定理以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为： 若, , 是圆周上的三点,且是该圆的直径,那么必然为直角.或者说,直径所对的圆周角是直角. 该定理在欧几里得《…
堆积的正方形
如图所示,夹角为的两边之间有三个堆积在一起的正方形.它们的面积有什么关系呢? 在这里我们设最小的正方形边长为,然后把所有角先标出来, 显然中间的正方形边长为. 同理,第三个正方形边…
函数套娃
函数的图形如下所示，问方程有多少个解？ 方程意味着或.水平线(未画出)与图形相交两次，所以有两个解.同样地，有四个解，所以有六个解. 那么你能用这种方法完成今天的挑战题吗?
最后留下的人是谁？
这n个数字排成一个圆圈，从数字开始，每次从这个圆圈里删除第个数字.求出这个圆圈里剩下的最后一个数字. 例如， 、 、 、 、 这个数字组成一个圆圈，从数字开始每次删除第个数字，则删…
鱼儿快逃
假设我们想知道一个池塘里有多少鱼.有没有比捕到池塘里的所有鱼更简单的方法? 如果这些鱼有一些容易识别的特征, 比如种类.那么如果我们从池塘中随机捕获100条鱼, 我们可以假设100…
混入茶中的葡萄酒
有两罐糖果, 其中一罐装有1000颗红色糖果, 另一罐则装有500颗绿色糖果. 假设我们从大罐子中取出200颗红色糖果, 将它们彻底混合到小罐子中, 然后从小罐子中随机取出200颗…
西瓜失水后的重量
出色的程序员总是希望加快工程中特别慢的代码的速度.她终于找到了罪魁祸首：程序占用了总时间的, 而其余的是其他不可避免的任务. 经过一整天的工作, 她设法优化了程序并将其运行时间减少…
一半有多大？
在一个100人的会场里有多少男士离场, 才能让男士的比例从降到? 这道关于百分比问题的答案会让我们出乎意料. 继续阅读来找出原因, 或者直接跳到今天的挑战. 小花去参加一个100人…
神秘的年龄
阿强今天生日, 他非常高兴, 不仅能拿到礼物, 还因为他终于可以说出这句话：“我的年龄是两个数位上的数字乘积的六倍.” 阿强几岁了？继续阅读以找出答案, 或跳到今天的挑战. 我们可…
字母C代表了哪个数字？
整除是数学中两个自然数之间的一种关系.自然数a可以被自然数b整除，是指b是a的因数，且a是b的整数倍数，也就是a除以b没有余数. 下面列出了十进制中判断一个整数被另一个整数整除的一…