抽象函数知多少

抽象函数是一类具有特定性质的函数, 满足条件的函数可以有多个. 根据性质求函数解析式是函数问题中的难题, 下面我们用一个具体的例子来说明抽象函数的问题如何求解.

例 1 ( 抽象函数 )

设函数满足, 且当时, . 你能写出函数在的解析式并作出对应的函数图像吗?

我们先来画函数图像, 根据条件当时, .

首先应该在坐标系中作出此图像, 这是一段开口向上的抛物线, 零点分别为对称轴为顶点注意定义域左开右闭, 因此图像左端点空心, 右端点实心.

然后根据条件, 可以知道自变量的值增加个单位, 函数值变为原来的倍.

比如

所以图像上, 点的横坐标向右平移个单位, 纵坐标伸长到原来的倍. 于是可以作出上的函数图像.

进一步可以推出, 点的横坐标向左平移个单位, 纵坐标缩短到原来的

这样就可以作出题目要求的区间段上的函数图像, 如下图所示.

那么函数的解析式怎么写呢？由于每一段都是抛物线, 观察图像抓住关键点就可以写出解析式.

但如果从严谨的角度来考虑, 那么还得从已知条件入手, 具体的如下：

根据题意有,

改写成 ,

由于时, ,

于是时, ,

;

进一步, 时, ,

;

因为,

于是,

已知时, ,

于是时, ,

;

当时, ,

这样便分段给出了函数在的解析式.

你看明白了吗？现在你能根据这个函数的图像来挑战2019年的一道全国高考题吗？