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例 1 ( 表面积最小 )

一个圆柱体罐子体积为一定值, 底面半径和高度比为多少才能使其表面积最小？

下面用两种方法来求解这个问题, 常规方法是列出表面积公式, 利用基本不等式求最值. 另一种方法是利用一个已有的结论并通过构造, 将圆柱体的表面积最小值转化为长方体的表面积最小值来计算. 请你来比较一下这两种方法孰优孰劣.

不妨设为罐子的高度, 为罐底的半径.

体积

表面积

代入表面积公式, 有

化简得,

下面需要用到三元基本不等式：

有

当且仅当

即

此时

因此底面半径和高度的关系是即

当时圆柱体表面积最小.

其实这个常规做法不简单：三元基本不等式高中不要求, 在解题过程中还涉及到了一个小小的拆分技巧, 在求底面半径和高度的关系时也有点计算量.

那么这个问题还有其他做法吗？有, 下面给一个非常规方法.

首先得知道一个结论：

定理 1 ( 定理 )

体积一定的长方体具有最小表面积时是一个正方体.

证明

不妨设长方体的长宽高分别为, 则其体积为

表面积为

由三元基本不等式得

当且仅当, 即时取等号, 为最小值.

因此体积一定的长方体具有最小表面积时是一个正方体.

回到原题

根据圆柱体底面圆的对称性, 将这个罐子嵌在一个底面边长为圆直径的正方形, 高与圆柱体等高的, 即的长方体盒子里.

于是, 罐子底面积与盒子底面积之比为.

罐子的侧面积与盒子的侧面积之比为.

因此, 罐子的总表面积与盒子的总表面积之比为.

由于罐子的体积与盒子的体积之比为 . 这个比值就是表面积之比.

因此, 当围成的长方体盒子的表面积最小时, 圆柱体罐子的表面积也最小.

根据定理 1,当该长方体盒子是一个立方体, 即时, 表面积最小.

因此, 当底面直径等于圆柱体高时, 表面积最小.

利用一个简单的结论解决了一个复杂的问题, 避免了繁琐的计算, 这个方法还是不错的.