直线分圆
例 1 ( 直线分圆 )
如图, 条直线可以将一个圆分成块,块,块或者块区域,最多是分成块. 那么条直线最多可以将一个圆分成几个区域呢？()
记为条直线分圆得到的最多的区域数. 我们先来看特殊情况.
易得 .
根据多次尝试可得 , .
下表列出了的值.
在上面的尝试中, 我们发现这样的结论：
命题 1 ( 最大化原则 )
要想分得的区域数最多, 要求直线两两相交, 交点两两不重合(任意三条直线不共点).
接下来本文给出两种方法来计算一般情况. 方法一是根据递推关系得出通项公式, 方法二是观察区域数与交点数的关系来得出结论, 并且将此结论推广到了更高维度的分割问题.
方法一：递推关系求最大区域数
根据上文表格, 的前几项是：
于是相邻两项的差为：
猜想递推公式：
事实上, 在条直线的基础上, 再增加一条直线,
要保证分得的区域数最多, 新添加的这条直线与前条直线要都相交, 且要交于不同点. 于是该直线上便有 个交点, 直线被分割为段, 而每段把它所在的那块区域又一分为二, 所以总共要增加个区域.
所以递推公式
成立.
根据累加法, 可得
所以
方法二：区域数与交点数的关系
在前面的讨论中, 我们发现圆面被直线分割的区域数与交点个数有密切的联系, 观察下图.
可以发现"上顶点"(标记为)和"内顶点"（直线在圆内部的交点）都有一块区域与其对应.
除此之外, 只有一块区域没有与点对应.
所以可以得到
以上图为例, 有条直线, 个内顶点, 因此区域数为
那么为了求出直线分圆所得最多的区域数, 任意两直线必须相交, 任意三条直线不共点, 也就是任意两条直线都能确定一个内顶点.
因此,
事实上, 这个结论可以推广到3维度以至于更高维度.
维问题：个平面最多能将维圆球分割成多少区域？
结果是
更抽象地, 对于更高的维度, 比如
用维的切面去分割 维“圆球”, 最多能分成的区域数是：
根据上面的介绍, 你能看懂下面这幅图吗？
无字证明：
更多思考
关于直线分圆问题, 类似的还有直线分割平面问题(条直线最多可以将一个平面分成几个区域？), 那么这两个问题等价吗？
下面两张图可以说明这个问题.
另外, 我们还可以思考下面这些问题：
条直线可以将圆分成几个区域？最少区域数是多少？
条封闭曲线比如圆, 椭圆可以将平面最多分成几个区域？
个平面可以将维球体分成几个区域？最多的和最少的区域数分别是多少？
不同维度的分割问题互相之间有什么联系？
参考文献
[1]T. S. Michael.How to Guard an Art Gallery[M].Baltimore: The Johns Hopkins University Press. 2009:1-13.