积分制足球赛

问题：七支球队进行足球比赛, 其中, 每支球队与其他球队各比一场, 无平局. 每支球队有50%的机会赢得每场比赛, 且比赛结果是独立的. 每场比赛中胜者得1分, 负者不得分. 则A队和B队积分相同的概率是多少?

首先考虑到A队和B队比赛，其结果有两种, A队击败B队; B队击败A队.

而这两支球队与其他5支球队比赛时，可能的情况数均为,因此A队和B队积分情况总共有.

当A队击败B队后, 两支球队积分相同的条件是他们和其他5支球队比赛时, A队比B队少赢一局, 因此有下面5种情形:

• A队赢0局, B队赢1局;
• A队赢1局, B队赢2局;
• A队赢2局, B队赢3局;
• A队赢3局, B队赢4局;
• A队赢4局, B队赢5局.

现在考虑A队赢局, B队赢局的情况数. 在A队比赛的5局中, 赢得局的情况数为. 同理B队赢得局的情况数为. 因此共有种情况. 综上所述, 当A队击败B队后两支球队积分相同的情况数为

同理, 当B队击败A队后两支球队积分相同的情况数也是如此.

因此题目所求A队和B队积分相同的概率是