关于$e$的运算

泰勒级数是将某个函数写成多项式函数, 用这个多项式函数去逼近复杂的原函数. 如的泰勒级数为

这样可以用泰勒级数的前几项来估计函数在附近的近似值. 而且项数越多, 近似值误差越小.

比如：绿线是的图像, 红线是近似函数的图像.

那么如何把一个函数写成泰勒级数的形式呢?

首先将函数写成

第一步先计算常数项, 当时有

即

接着计算一次项系数, 取的导数有

当时有

接着计算二次项系数, 再次求导得

当时有

同理可得

所以泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.

当时的泰勒(Taylor)级数称为麦克劳林(Maclaurin)级数.

回到文章开头提出的的泰勒级数, 让我们用公式来验证一下.

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把代入得

现在请你写出的泰勒展开式吧.