连续抛硬币

假设一个事件发生的概率为, 那么在重复、独立的试验中, 平均要多少次试验, 这个事件才会发生一次？如果连续发生多次呢？

将这个问题具体化,

问题1：一枚硬币, 抛出正面和反面的概率分别是, 现在连续抛一枚硬币, 平均抛多少次会出现一次正面朝上？

抛一枚硬币, 我们有 的概率直接成功, 剩下 的概率失败, 如果失败了就需要花费 的期望成功.

则

即

解得.

问题2：条件不变, 平均抛多少次会出现连续2次正面朝上？

2次正面朝上需要在1次正面朝上的基础上再抛出一次正面朝上, 不妨设抛出一次正面朝上的期望次数为,那么再抛一次硬币, 有的概率出现正面, 游戏结束, 有的概率出现反面, 游戏就要重新开始. 于是, 有

即

解得

根据问题1, ,于是.

按照问题2的解决思路, 一般情况的也能求解了.

问题3：条件不变, 平均抛多少次会出现连续n次正面朝上？

n次正面朝上需要在n-1次正面朝上的基础上再抛出一次正面朝上, 不妨设抛出连续n次正面朝上的期望次数为,那么再抛一次硬币, 有的概率出现正面, 游戏结束, 有的概率出现反面, 游戏就要重新开始. 于是, 有

即

解得. 结合,

便得到了一个递推关系式, 根据数列的相关知识, 由递推关系可以得到通项公式.