堆雪人

你知道球体体积公式吗？如果不用微积分怎么求球体体积呢？下面介绍用祖暅原理求球体的体积.

祖暅原理：两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.

现有一个半球体，和一个圆柱. 设半球体的半径为 . 圆柱与半球体是等高的，高度是 ，半径也是 . 在这个圆柱中挖去一个倒置的圆锥. 圆锥的底面半径是 ，高也是 ，所以它的母线与水平面的夹角是 .

用不同高度的平面去截这两个物体，如果在每一个高度的横截面的面积都相等，则这两个物体体积相等.

（1）一个高度是 的平面，与半球体相交的部分是一个小圆.

已知半径 和高度 ，根据勾股定理，小圆的半径 为：

小圆的面积为：

（2）高度是 的平面，与圆柱相交的部分是一个圆环.

圆环的大半径是 ，小半径是 .

因为圆锥的母线与水平面的夹角是 ，高度 可以与小半径组成一个等腰直角三角形的两条直角边，所以小半径的长度等于高度 .

因此圆环的面积为：

由以上分析可得

根据祖暅原理，两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.