多边形分平面

两个相同的正四边形(正方形)能将一个平面划分的最大区域数是多少? 在上图中，我们看到可以用两个正方形将平面分成个区域(包括两个正方形外面的部分)，但这是最大值吗? 如果不是，我们如何增加被划分的区域的数量?

想要了解最大化区域数量的策略，请继续阅读. 或者，跳到今日挑战，你将面临同样的问题，不过多边形的边数将增加.

我们希望建立一个通用的方法来解决这一难题，所以让我们先从头开始，研究一下如何用两个三角形划分这个平面. 在下图中，我们同样可以通过两个相同的正三角形创建个区域. 看起来，如果我们旋转其中一个三角形，或许我们可以创建更多的区域. 假设我们从两个三角形重合放置开始，其中一个三角形叠放在另一个三角形的上面. 如果我们把其中一个稍微旋转一点，一个顶点和一些区域就会露出来. 根据正三角形的对称性，如果旋转使一个顶点和某个区域在三角形的一个角显露出来，那么在所有三个角上也会出现同样的情况. 因此，每个三角形的每个角都有一个区域，以及它们共有的内部和外部，总共会有个区域.

为什么这可能是区域的最大数量? 直观上看，除去由两个三角形组成的内部和外部区域(每个区域只能有一个)，一个区域必须包括至少一个三角形中的至少一个顶点. 因此，通过最小化每个区域中三角形顶点的数量，我们可以最大化区域的数量. 在上面的图中，每个非内部非外部区域只包含一个顶点，所以我们找到了可能形成的最多区域.

让我们回到正方形的情况，尝试相同的方法. 我们把两个正方形重叠放置，旋转其中一个，让另一个正方形的一个角露出来. 同理，根据正方形的对称性，一个角露出来意味着四个角都露出来. 每个正方形的每个角都有一个区域，以及它们共享的内部和外部，所以总共有个区域.

如果我们以同样的方式处理五边形，那我们能得到个区域. 如果你不能准确地画出多边形，你还能按照这个方法来确定区域的最大数量吗? 除非你能画一个有条边的正多边形，这就是今日挑战.