赶车人
正弦定理
如图, 有一个锐角三角形, 边为, 对应角分别为, 为边上的高.
同理, 右边的三角形有,
联立得,
即.
同理有, .
将上面的等式串联起来, 就可以得出正弦定理.
定理 1 ( 正弦定理 )
在边为, 对应角分别为的三角形中, 则有等式
成立.
文章开头推导正弦定理用的是锐角三角形. 那么正弦定理对直角三角形和钝角三角形也成立吗？
直角三角形中该结论显然成立.
下面我们来说明在钝角三角形中正弦定理仍然成立.
在上图中, 假设角是钝角, 则边上的高
同锐角三角形.
因此正弦定理对钝角三角形同样成立.
拓展的正弦定理
进一步,
这一比值等于多少呢？
在几何中, 我们知道任何三角形都有外接圆, 同一条弦所对的圆周角大小都相同.
如图, 做三角形的外接圆, 并沿圆的周长以角A滑动顶点, 直到三角形的一条边通过圆心. 此时角的大小不会改变.
这就产生了一个包含角的直角三角形, 我们看到等于除以圆的直径.
不妨设边为, 对应角分别为的三角形, 外接圆直径为.
因此有
此即为拓展的正弦定理.
那么你能用正弦定理完成今天的挑战题吗?
内容来源：橘子数学（原文链接）