希尔伯特酒店

无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而, 没有任何概念比无穷大更需要澄清......

——大卫·希尔伯特（1862-1943）

本文介绍大卫·希尔伯特于1920年设计的一个关于无穷的趣味思维实验, 它向我们展示了深入思考无限的理念到底有多难.

希尔伯特设计了一个有无限数量房间的酒店, 每个房间都标有从1开始的自然数房间号. 也就是说这家酒店的客房数量与自然数集是一样的, 我们称是可数的. 我们称这酒店为希尔伯特酒店.

鉴于其无限的客房数量, 希尔伯特酒店始终以提供客房而自豪. 有一天晚上希尔伯特酒店住满了客人, 也就是酒店的每个房间里都有人住. （换句话说, 当前的客人和房间之间存在一对一的对应关系.）

这时来了一位客人需要入住, 希尔伯特没有回绝他, 而是腾出了一间空房给他, 这是怎么做到的呢？

原来他安排每个房客移动到下一个房间, 也就是在号房间中的客人移至房间. 这样便可以腾出号房间, 从而分配给新客人.

刚给这位新客人安排好房间, 希尔伯特酒店门口又开来了一辆满载着新客人的巴士. 就像酒店本身一样, 这辆公共汽车的特殊之处在于它的座位数也是无穷可数的.车上坐满了人, 每个人都坐在一个从1开始编号的座位上.这次希尔伯特能将车上的人都安排好房间吗？

希尔伯特想了一会, 他让每位客人搬到当前房号两倍的房间入住. 也就是, 如果客人在号房间, 他们将移至号房间.这将使所有奇数编号的房间保持打开状态.

现在, 希尔伯特可以为公共汽车上的每个人分配一个房间.如果每个人的座位号是, 他可以给他们分配房间号,这就将公共汽车上的人分配到了奇数号的酒店房间.

希尔伯特酒店一时间声名远播, 人们从世界各地蜂拥而来, 有一天晚上, 奇怪的事情发生了. 酒店门口来了无穷多辆巴士, 每辆巴士上都坐满了无穷多乘客. 这无穷多辆车上的无穷多乘客都要入住酒店, 这下可怎么办呢？

你能帮助希尔伯特安排这些人的房间吗？