特殊函数$S(n)$

什么是函数？

函数的近代定义是在某个变化过程中有两个变量，如果对于所在的某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作.

我们可以将函数形象的比喻为一个机器，输入变量，经过对应法则的作用，就可以得到对应的函数值.

举个例子：对于任意一个正整数,都可以计算其各个数位上的和，因此可以将正整数各个数位上的数字之和看成是正整数的函数，记作, 比如：

,

,

因为计算结果仍就是正整数，我们还可以继续计算

.

事实上，将两次计算合在一起可以写为

,

,

这样的表示是什么呢？

这就是复合函数:

函数 和 可以复合得到从中的 映射到 中的,形象的表示如图所示，输入，先进入机器,输出的值再进入机器,得到的结果就是.

当然一种特殊情况就是的时候,此时称复合函数为迭代函数.